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Questão de Matemática — Proporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais — VUNESP 2025

MatemáticaProporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais
Código
vu219227
Banca
VUNESP
Órgão
FESA
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
Em um colégio trabalhavam 48 professores, de modo que a razão do número de professores com idade igual ou inferior a 30 anos para o número de professores com idade superior a 30 anos era \frac {3} {5}. Após a contratação de determinado número de professores novos, todos com idade inferior a 30 anos, e sabendo que nenhum dos professores foi demitido, a razão citada passou a ser \frac {2} {3}. O número de professores novos contratados foi
  1. A6.
  2. B5.
  3. C4.
  4. D3.
  5. E2.
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GabaritoE — 2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 2 professores novos — alternativa E.

A ideia por trás

Razão é uma divisão entre duas grandezas. Quando o enunciado diz que a razão entre o número de professores com idade ≤ 30 e os com idade > 30 é 3/5, significa que, para cada 3 professores jovens, há 5 professores mais velhos. A soma das partes (3 + 5 = 8) corresponde ao total de 48 professores. Essa é a chave: a razão nos dá uma 'proporção' que, multiplicada por uma constante, reproduz os valores reais.

Se a razão é 3/5, podemos escrever jovens = 3k e velhos = 5k, onde k é um número real que ajusta a proporção ao total. Como o total é 48, temos 3k + 5k = 8k = 48, logo k = 6. Portanto, inicialmente havia 3 × 6 = 18 professores com 30 anos ou menos e 5 × 6 = 30 professores com mais de 30 anos. A razão final 2/3 significa que, após a contratação, o número de jovens dividido pelo número de velhos é igual a 2/3.

Esta questão cobra a aplicação de razão e proporção em duas etapas: primeiro, encontrar os valores reais de cada grupo a partir da razão inicial e do total; segundo, usar a razão final para montar uma equação com a incógnita x (número de novos contratados).

O que a questão dá

  • total inicial de professores = 48

  • razão inicial (jovens : velhos) = 3/5

  • razão final (jovens : velhos) = 2/3

  • novos contratados são todos jovens

O que queremos: o número de professores novos contratados

Passo 1 — Descobrir quantos professores havia em cada grupo

A razão inicial 3/5 nos diz a proporção entre os grupos, mas não os números reais. Precisamos desses números para depois montar a equação da nova razão. Como a razão é uma divisão, podemos representar os grupos como 3k e 5k, onde k é um fator comum.

Por que esta fórmula: A soma dos grupos deve ser o total de 48 professores, então 3k + 5k = 48. Isso nos permite encontrar k e, com ele, os valores reais.

3k+5k=483k + 5k = 48

De onde vem cada valor: 3k3k = definição: 3 partes da razão inicial para jovens · 5k5k = definição: 5 partes da razão inicial para velhos · 4848 = enunciado: total de professores

8k=488k = 48
k=6k = \boxed{6}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar as partes da razão e tentar usar 3 e 5 diretamente como números reais.

Passo 2 — Calcular o número inicial de jovens e velhos

Com o fator k encontrado, podemos obter os valores reais de cada grupo, que serão usados na equação da nova razão.

Por que esta fórmula: Substituímos k = 6 nas expressões 3k e 5k.

jovens=3k,velhos=5kjovens = 3k, velhos = 5k

De onde vem cada valor: 3k3k = passo 1: 3 × 6 · 5k5k = passo 1: 5 × 6

jovens=3×6=18,velhos=5×6=30=18 jovense30velhosjovens = 3 \times 6 = 18, velhos = 5 \times 6 = 30 = \boxed{18\ \text{jovens} \text{e} 30 \text{velhos}}
NÃO CAIA NESSA!

Trocar os valores: colocar 30 jovens e 18 velhos.

Passo 3 — Montar a equação da nova razão

Após a contratação de x novos professores jovens, o número de jovens passa a ser 18 + x, enquanto o de velhos permanece 30. A nova razão é 2/3, então montamos a equação.

Por que esta fórmula: A razão é a divisão entre o novo número de jovens e o número de velhos, que deve ser igual a 2/3.

18+x30=23\frac{18 + x}{30} = \frac{2}{3}

De onde vem cada valor: 1818 = passo 2: número inicial de jovens · xx = definição: incógnita, número de novos contratados · 3030 = passo 2: número de velhos (não muda) · 2/32/3 = enunciado: nova razão

18+x30=23\frac{18 + x}{30} = \frac{2}{3}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o total 48 como denominador, esquecendo que os velhos não mudam.

Passo 4 — Resolver a equação para achar x

A equação do passo anterior tem uma incógnita; resolvê-la dá o número de contratações.

Por que esta fórmula: Multiplicamos cruzado para eliminar as frações e isolamos x.

3×(18+x)=2×303 \times (18 + x) = 2 \times 30

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: numerador da razão final 2/3 · 18+x18 + x = passo 3: novo número de jovens · 22 = enunciado: numerador da razão final 2/3 · 3030 = passo 2: número de velhos

54+3x=6054 + 3x = 60
x=2x = \boxed{2}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação cruzada: colocar 2 × (18 + x) = 3 × 30.

Resposta: 2 professores novos — alternativa E

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