Questão de Matemática — Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico. — VUNESP 2025
Matemática›Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico.
Código
vu219228
Banca
VUNESP
Órgão
FESA
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
Considere o triângulo retângulo ABC, de ângulo reto no vértice A, com AB = x cm, AC = x + 4 cm, e ângulos internos ACB ^ e ABC ^ de medidas α e β, respectivamente, conforme mostra a figura.
fora de escala
Sabendo que tg α = \frac {3} {4}, o valor de sen β é igual a
A\frac {1} {2}
B\frac {3} {4}
C\frac {4} {5}
D\frac {5} {6}
E\frac {7} {8}
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GabaritoC — \frac {4} {5}
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Trigonometria no Triângulo Retângulo
Gabarito: letra C — o valor de sen β é 4/5. Como α e β são ângulos complementares (α + β = 90°), o seno de β é igual ao cosseno de α. Dado que tg α = 3/4, podemos construir um triângulo retângulo com cateto oposto a α = 3 e cateto adjacente a α = 4, o que nos dá uma hipotenusa de 5 (triângulo pitagórico 3-4-5). Assim, cos α = 4/5 e, portanto, sen β = 4/5.
A trigonometria no triângulo retângulo estuda as relações entre os lados e os ângulos agudos de um triângulo que possui um ângulo reto (90°). As três razões fundamentais são:
Seno de um ângulo = cateto oposto / hipotenusa
Cosseno de um ângulo = cateto adjacente / hipotenusa
Tangente de um ângulo = cateto oposto / cateto adjacente
No triângulo ABC, retângulo em A, temos os ângulos agudos α (no vértice C) e β (no vértice B). Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°, e o ângulo A mede 90°, concluímos que α + β = 90°. Isso significa que α e β são ângulos complementares.
Uma propriedade fundamental dos ângulos complementares é que o seno de um é igual ao cosseno do outro:
sen α = cos β
cos α = sen β
Portanto, para encontrar sen β, basta encontrar cos α.
O enunciado nos dá tg α = 3/4. A tangente é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Assim, podemos imaginar um triângulo retângulo onde o cateto oposto a α mede 3 e o cateto adjacente mede 4. Para encontrar a hipotenusa, usamos o Teorema de Pitágoras:
Agora, o cosseno de α é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa:
cos α = 4/5
Como cos α = sen β, concluímos que sen β = 4/5.
PEGA ESSA DICA!
Sempre que a questão envolver ângulos complementares em um triângulo retângulo, lembre-se: seno de um ângulo = cosseno do complementar. Isso evita cálculos desnecessários e resolve a questão de forma direta.
Razões Trigonométricas — só Seno: 3/5; só Cosseno: 4/5; Seno∩Cosseno: 4/5
Alternativa A — ❌ Incorreta
O valor 1/2 corresponde ao seno de 30°, um ângulo notável. Não há relação com os dados do problema, pois a tangente de α = 3/4 não corresponde a um ângulo notável (30°, 45° ou 60°).
Alternativa B — ❌ Incorreta
O valor 3/4 é exatamente a tangente de α, não o seno de β. A banca tenta confundir o candidato que pode associar diretamente o valor da tangente ao seno do ângulo complementar, sem fazer a conversão correta.
Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Como α e β são complementares, sen β = cos α. Com tg α = 3/4, temos um triângulo 3-4-5, onde cos α = 4/5. Portanto, sen β = 4/5.
Alternativa D — ❌ Incorreta
O valor 5/6 não corresponde a nenhuma razão trigonométrica direta do triângulo 3-4-5. Pode ser um distrator para quem tenta usar a tangente de forma incorreta ou confunde as razões.
Alternativa E — ❌ Incorreta
O valor 7/8 também não corresponde a nenhuma razão do triângulo 3-4-5. É um distrator numérico sem relação com os dados do problema.
