Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2025

Geometria Analítica: distância entre ponto e vértice da parábola

Gabarito: letra A — a distância entre o ponto P(5, –2) e o vértice V(2, 7) da parábola é $3\sqrt{10}$. O vértice é obtido pelas fórmulas $x_v = -\frac{b}{2a}$ e $y_v = -\frac{\Delta}{4a}$ aplicadas à função $f(x) = -x^2 + 4x + 3$, e a distância é calculada pela fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano.

A questão combina dois conteúdos de Geometria Analítica: a determinação do vértice de uma parábola (função quadrática) e o cálculo da distância entre dois pontos. O vértice de uma parábola $y = ax^2 + bx + c$ é o ponto de máximo ou mínimo da função, e suas coordenadas são dadas por:

onde $\Delta = b^2 - 4ac$ é o discriminante da equação. No caso, $a = -1$, $b = 4$ e $c = 3$. Como $a < 0$, a concavidade é voltada para baixo, e o vértice é o ponto de máximo da função.

Calculando:

Portanto, o vértice é $V(2, 7)$. O ponto P dado é $P(5, -2)$. A distância entre dois pontos $A(x_1, y_1)$ e $B(x_2, y_2)$ no plano cartesiano é dada por:

Substituindo os valores:

Simplificando o radical: $\sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = 3\sqrt{10}$.

A pegadinha da banca está em possíveis erros de sinal ou de simplificação do radical. Por exemplo, confundir o sinal de $y_v$ (que é positivo, 7) ou errar a subtração $(-2 - 7) = -9$, esquecendo que o quadrado elimina o sinal. Outro erro comum é simplificar $\sqrt{90}$ como $3\sqrt{10}$ (correto) ou como $9\sqrt{10}$ (incorreto, pois $9^2 \cdot 10 = 810$).

Guarde o passo a passo: primeiro encontre o vértice com as fórmulas, depois aplique a distância entre dois pontos. É exatamente essa sequência que as alternativas testam.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A distância calculada é $\sqrt{90} = 3\sqrt{10}$. O vértice é $V(2, 7)$ e o ponto é $P(5, -2)$. A diferença das abscissas é $5 - 2 = 3$ e a diferença das ordenadas é $-2 - 7 = -9$. Elevando ao quadrado: $3^2 = 9$ e $(-9)^2 = 81$. Somando: $9 + 81 = 90$. A raiz quadrada de 90 é $3\sqrt{10}$, pois $90 = 9 \times 10$ e $\sqrt{9} = 3$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$3\sqrt{5}$ seria o resultado se a soma dos quadrados fosse $45$ (pois $3\sqrt{5} = \sqrt{45}$). Isso ocorreria se, por exemplo, as diferenças fossem $3$ e $6$ (pois $3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$), mas a diferença correta das ordenadas é $9$, não $6$. O erro aqui é trocar o valor de $y_v$ ou errar a subtração.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$2\sqrt{10}$ seria o resultado se a soma dos quadrados fosse $40$ (pois $2\sqrt{10} = \sqrt{40}$). Isso aconteceria se as diferenças fossem $2$ e $6$ (pois $2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40$), mas a diferença correta das abscissas é $3$, não $2$. O erro aqui é trocar o valor de $x_v$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$2\sqrt{5}$ seria o resultado se a soma dos quadrados fosse $20$ (pois $2\sqrt{5} = \sqrt{20}$). Isso aconteceria se as diferenças fossem $2$ e $4$ (pois $2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$), mas as diferenças corretas são $3$ e $9$. O erro aqui é errar tanto $x_v$ quanto $y_v$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$3\sqrt{2}$ seria o resultado se a soma dos quadrados fosse $18$ (pois $3\sqrt{2} = \sqrt{18}$). Isso aconteceria se as diferenças fossem $3$ e $3$ (pois $3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$), mas a diferença correta das ordenadas é $9$, não $3$. O erro aqui é trocar o sinal de $y_v$ (usar $y_v = -7$ em vez de $7$), o que daria $(-2 - (-7)) = 5$, e a distância seria $\sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{34}$, que não está nas alternativas.

Gabarito: letra A