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Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2025

MatemáticaGeometria Analítica
Código
vu219232
Banca
VUNESP
Órgão
FESA
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
Em um plano cartesiano, a reta r, de equação y = x + 1, intersecta no ponto P a reta s, de equação y = – 2x + 10, e intersecta no ponto Q o eixo das abscissas, conforme a figura.   Sabendo que a reta s intersecta o eixo das abcissas no ponto R, a área do triângulo PQR, em unidades de área, é igual aImagem associada para resolução da questão
  1. A6.
  2. B8.
  3. C10.
  4. D12.
  5. E14.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 12.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 12 unidades de área — alternativa D.

A ideia por trás

A geometria analítica traduz figuras em equações: cada reta é uma relação entre x e y, e os pontos de interseção são as soluções comuns dessas equações. O eixo das abscissas é a reta horizontal onde y = 0, e a área de um triângulo pode ser calculada a partir das coordenadas de seus vértices, seja por determinante, seja pela fórmula base × altura / 2.

Para achar onde duas retas se cruzam, igualamos suas equações e resolvemos para x; depois substituímos em uma delas para obter y. Para achar onde uma reta corta o eixo x, fazemos y = 0 e resolvemos para x. A área do triângulo com vértices (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) é dada por ½ |x1(y2−y3) + x2(y3−y1) + x3(y1−y2)|, ou, se dois pontos estão sobre o eixo x, pela fórmula base × altura / 2, onde a base é a distância entre esses pontos e a altura é o valor absoluto da coordenada y do terceiro ponto.

Esta questão pede exatamente isso: encontrar os três pontos de interseção (P, Q e R) e então calcular a área do triângulo formado por eles. Como Q e R estão sobre o eixo x, a base é a distância entre eles e a altura é a coordenada y de P.

O que a questão dá

  • reta r: y = x + 1

  • reta s: y = -2x + 10

  • P é a interseção de r e s

  • Q é a interseção de r com o eixo x

  • R é a interseção de s com o eixo x

O que queremos: a área do triângulo PQR

Passo 1 — Achar o ponto P de interseção das retas

O ponto P é um dos vértices do triângulo, e precisamos de suas coordenadas para calcular a área. Como ele pertence às duas retas, suas coordenadas satisfazem as duas equações ao mesmo tempo.

Por que esta fórmula: Igualar as duas equações é o método para resolver o sistema: no ponto comum, os valores de y são iguais, então x + 1 = -2x + 10.

x+1=−2x+10x + 1 = -2x + 10

De onde vem cada valor: x+1x + 1 = enunciado: equação da reta r · −2x+10-2x + 10 = enunciado: equação da reta s

x+1=−2x+10x + 1 = -2x + 10
x=3x = \boxed{3}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma algébrica ao juntar os termos: 3x = 9, não 3x = 11.

Passo 2 — Obter a coordenada y de P

Com o x de P encontrado, falta o y para completar o ponto. Como P está sobre a reta r, substituímos x = 3 na equação dela.

Por que esta fórmula: A equação da reta r dá o y em função do x; basta substituir o valor conhecido.

y=x+1y = x + 1

De onde vem cada valor: xx = passo 1: 3

y=3+1y = 3 + 1
y=4y = \boxed{4}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a equação da reta s por engano — o resultado seria o mesmo, mas é bom conferir.

Passo 3 — Achar o ponto Q na reta r com o eixo x

O ponto Q é outro vértice do triângulo, e ele está sobre o eixo das abscissas, onde y = 0. Precisamos de sua coordenada x.

Por que esta fórmula: No eixo x, a ordenada é zero; substituímos y = 0 na equação da reta r e resolvemos para x.

0=x+10 = x + 1

De onde vem cada valor: 00 = definição: eixo das abscissas (y = 0) · x+1x + 1 = enunciado: equação da reta r

0=x+10 = x + 1
x=−1x = \boxed{-1}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o eixo das abscissas com o das ordenadas e fazer x = 0.

Passo 4 — Achar o ponto R na reta s com o eixo x

O ponto R é o terceiro vértice, também sobre o eixo x. Precisamos de sua coordenada x para definir a base do triângulo.

Por que esta fórmula: Novamente, no eixo x temos y = 0; substituímos na equação da reta s.

0=−2x+100 = -2x + 10

De onde vem cada valor: 00 = definição: eixo das abscissas (y = 0) · −2x+10-2x + 10 = enunciado: equação da reta s

0=−2x+100 = -2x + 10
x=5x = \boxed{5}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao isolar x: -2x = -10, então x = 5, não -5.

Passo 5 — Calcular a base QR do triângulo

Os pontos Q e R estão sobre o eixo x, então o segmento QR é horizontal e serve de base. A distância entre eles é a diferença das abscissas.

Por que esta fórmula: A distância entre dois pontos sobre o eixo x é o valor absoluto da diferença das coordenadas x.

base=∣xR−xQ∣base = |x_R - x_Q|

De onde vem cada valor: xRx_R = passo 4: 5 · xQx_Q = passo 3: -1

base=∣5−(−1)∣base = |5 - (-1)|
base=6base = \boxed{6}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o valor absoluto e obter base negativa.

Passo 6 — Calcular a altura do triângulo

A altura é a distância do ponto P até a base QR, que está sobre o eixo x. Como a base é horizontal, essa distância é simplesmente o valor absoluto da coordenada y de P.

Por que esta fórmula: A distância de um ponto a uma reta horizontal é a diferença vertical; aqui, a reta é o eixo x (y=0), então a altura é |y_P - 0|.

altura=∣yP∣altura = |y_P|

De onde vem cada valor: yPy_P = passo 2: 4

altura=∣4∣altura = |4|
altura=4altura = \boxed{4}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a distância entre P e Q ou P e R em vez da altura.

Passo 7 — Calcular a área do triângulo

Com a base e a altura, a área sai direto pela fórmula clássica. É o passo final que responde à questão.

Por que esta fórmula: A área de qualquer triângulo é metade do produto da base pela altura; aqui a base é QR e a altura é a distância de P até o eixo x.

Aˊrea=base×altura2\text{Área} = \frac{\text{base} \times \text{altura}}{2}

De onde vem cada valor: basebase = passo 5: 6 · alturaaltura = passo 6: 4

Aˊrea=6×42=12 unidadesdeaˊrea\text{Área} = \frac{6 \times 4}{2} = \boxed{12\ \text{unidades} \text{de} á\text{rea}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2 e obter 24.

Resposta: 12 unidades de área — alternativa D

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