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Questão de Matemática — Equações de Segundo Grau e Equações Biquadradas — VUNESP 2025

MatemáticaEquações de Segundo Grau e Equações Biquadradas
Código
vu219236
Banca
VUNESP
Órgão
UNICAMP
Ano
2025
Cargo
TAU ( )
O produto das idades atuais (em anos) de dois irmãos é 320, e o mais velho, em relação ao mais novo, é 4 anos mais velho. Então, daqui a 6 anos, a idade do irmão mais novo será
  1. A20 anos.
  2. B22 anos.
  3. C24 anos.
  4. D26 anos.
  5. E28 anos.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 22 anos.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 22 anos — alternativa B.

A ideia por trás

Problemas de idade costumam dar duas relações entre as idades de duas pessoas: uma soma, uma diferença, um produto ou uma razão. Aqui temos o produto e a diferença. Quando se conhece o produto de dois números e a diferença entre eles, monta-se um sistema de equações que, ao ser resolvido, vira uma equação do segundo grau — uma equação com a incógnita ao quadrado, que pode ter até duas soluções.

A equação do segundo grau tem a forma ax² + bx + c = 0, e suas soluções são dadas pela fórmula de Bhaskara: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a). O termo dentro da raiz, Δ = b² - 4ac, diz quantas soluções existem: se Δ > 0, há duas soluções reais diferentes; se Δ = 0, uma só; se Δ < 0, nenhuma real. No contexto de idades, uma das soluções costuma ser negativa e é descartada, pois idade não pode ser negativa.

Esta questão pede para montar o sistema a partir do produto e da diferença, resolver a equação do segundo grau resultante e, no final, somar 6 anos à idade atual do mais novo — um passo que muitos esquecem.

O que a questão dá

  • produto das idades atuais = 320

  • diferença entre as idades = 4 anos (o mais velho tem 4 anos a mais)

  • pergunta: idade do mais novo daqui a 6 anos

O que queremos: a idade do irmão mais novo daqui a 6 anos

Passo 1 — Montar o sistema de equações

Temos duas informações sobre as idades: o produto e a diferença. Para usar as duas juntas, precisamos transformá-las em equações. Chamando a idade do mais novo de x e a do mais velho de y, o produto vira x·y = 320 e a diferença vira y = x + 4.

Por que esta fórmula: Não há fórmula aqui; é a tradução direta do enunciado para a linguagem matemática. O produto é a multiplicação das duas idades, e a diferença é a subtração, com o mais velho maior.

NÃO CAIA NESSA!

Inverter a diferença: escrever x = y + 4 em vez de y = x + 4. O mais velho é y, então ele é quem recebe o +4.

Passo 2 — Substituir e formar a equação do segundo grau

Com duas equações e duas incógnitas, o caminho é substituir uma na outra para ficar com uma só incógnita. Como y = x + 4, trocamos y por x + 4 na equação do produto, obtendo uma equação apenas com x.

Por que esta fórmula: A equação x·(x + 4) = 320 é o produto das idades com a segunda equação já embutida. Expandindo e passando tudo para um lado, chegamos à forma padrão ax² + bx + c = 0, que é a que sabemos resolver.

x⋅(x+4)=320x \cdot (x + 4) = 320

De onde vem cada valor: xx = definição: idade do irmão mais novo (incógnita) · x+4x + 4 = passo 1: idade do mais velho

x⋅(x+4)=320x \cdot (x + 4) = 320
x2+4x−320=0x^{2} + 4x - 320 = \boxed{0}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de passar o 320 para o outro lado com sinal trocado, ficando x² + 4x = 320 e depois usar Bhaskara com c = 320 em vez de -320.

Passo 3 — Calcular o discriminante

Antes de aplicar a fórmula de Bhaskara, calculamos Δ = b² - 4ac para saber quantas soluções existem e para usá-lo na fórmula. Aqui Δ = 1296, que é positivo, então teremos duas raízes reais.

Por que esta fórmula: O discriminante é a parte da fórmula de Bhaskara que fica dentro da raiz quadrada. Ele determina o número de soluções e também é usado no cálculo das próprias raízes.

Δ=b2−4ac\Delta = b^{2} - 4ac

De onde vem cada valor: bb = passo 2: coeficiente de x na equação, 4 · aa = passo 2: coeficiente de x² na equação, 1 · cc = passo 2: termo constante na equação, -320

Δ=42−4⋅1⋅(−320)=1296\Delta = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-320) = \boxed{1296}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal de c: usar +320 em vez de -320, o que daria Δ = 16 - 1280 = -1264 e levaria a concluir que não há solução real.

Passo 4 — Aplicar a fórmula de Bhaskara

Com o discriminante em mãos, usamos a fórmula completa para achar as duas raízes. A raiz quadrada de 1296 é 36, então as soluções são x = (-4 ± 36)/2.

Por que esta fórmula: A fórmula de Bhaskara resolve qualquer equação do segundo grau. Ela dá as duas raízes a partir dos coeficientes a, b e c.

x=−b±Δ2ax = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

De onde vem cada valor: bb = passo 2: 4 · Δ\Delta = passo 3: 1296 · aa = passo 2: 1

x=−4±12962⋅1x = \frac{-4 \pm \sqrt{1296}}{2 \cdot 1}

x = 16 ou x = -20

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o ± e considerar apenas uma raiz, ou errar a raiz quadrada de 1296 (que é 36, não 34).

Passo 5 — Escolher a raiz válida

A equação deu duas respostas, mas idade não pode ser negativa. A raiz -20 é impossível, então a idade atual do mais novo é 16 anos.

16 anos\boxed{16\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Aceitar -20 como resposta sem pensar no contexto — idade negativa não existe.

Passo 6 — Somar 6 anos à idade atual

A pergunta não é a idade atual, e sim daqui a 6 anos. Somar 6 à idade atual do mais novo dá a resposta final.

16+616 + 6

De onde vem cada valor: 1616 = passo 5: idade atual do mais novo · 66 = enunciado: daqui a 6 anos

16+6=22 anos16 + 6 = \boxed{22\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Responder 16 (idade atual) ou 20 (idade atual do mais velho) — a pegadinha clássica de esquecer de somar os 6 anos.

Resposta: 22 anos — alternativa B

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