Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — VUNESP 2025
Matemática›Função de Segundo Grau
Código
vu219240
Banca
VUNESP
Órgão
UNESP
Ano
2025
Cargo
V - - Vest ( )
Para monitorar a presença de certa praga em uma lavoura de café ao longo dos 12 meses de um ano, os agrônomos modelaram a função quadrática f(x), dada por f(x) =- 4980x^2 + 491280x - 491200 , em que x varia de 1 até 12. Nessa função, f(x) indica a porcentagem da lavoura que possui a presença da praga e x indica o mês do ano em que foi feito o monitoramento da área, sendo x = 1 o início do mês de janeiro, x = 2 o início do mês de fevereiro, e assim sucessivamente até x = 12, que representa o início do mês de dezembro. Por exemplo, como f(2) = 491040≈ 21,2 , sabe-se que a praga estava disseminada por cerca de 21,2% da lavoura no início de fevereiro. Avaliando-se o comportamento dessa função no intervalo em que x ∈ [1, 12], a menor porcentagem da lavoura que esteve livre da praga foi de
A20% e ocorreu no início do mês de agosto.
B0% e ocorreu no início do mês de janeiro.
C40% e ocorreu no meio do mês de julho.
D50% e ocorreu no final do mês de julho.
E80% e ocorreu no início do mês de agosto.
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GabaritoA — 20% e ocorreu no início do mês de agosto.
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Função quadrática: vértice e valor máximo
Gabarito: letra A. A menor porcentagem da lavoura livre da praga é 20%, ocorrida no início de agosto (x = 8). Isso porque a função f(x) modela a porcentagem COM praga, e o máximo de f(x) — que ocorre no vértice da parábola, em x = 8 — é 80%; logo, a porcentagem livre é 100% − 80% = 20%.
A questão trabalha com uma função quadrática, cujo gráfico é uma parábola. Como o coeficiente a = −80/49 é negativo, a parábola tem concavidade para baixo, o que significa que a função atinge um valor MÁXIMO no vértice. O vértice é o ponto mais alto da curva, e sua abscissa é dada por x_v = −b/(2a).
Vamos calcular o vértice da função f(x) = −(80/49)x² + (1280/49)x − (1200/49):
Portanto, o valor máximo de f(x) ocorre em x = 8, que corresponde ao início do mês de agosto (x = 1 é janeiro, x = 2 é fevereiro, ..., x = 8 é agosto).
Agora, calculamos o valor máximo de f(x) substituindo x = 8:
f(8) = −(80/49) × 8² + (1280/49) × 8 − (1200/49)
f(8) = −(80/49) × 64 + (1280/49) × 8 − (1200/49)
f(8) = −5120/49 + 10240/49 − 1200/49
f(8) = (−5120 + 10240 − 1200)/49
f(8) = 3920/49 = 80.
Assim, no início de agosto, a praga está presente em 80% da lavoura. Como f(x) indica a porcentagem COM praga, a porcentagem LIVRE da praga é 100% − 80% = 20%. Essa é a menor porcentagem livre, pois é quando a praga está mais disseminada.
A pegadinha da questão está em interpretar corretamente o que f(x) representa: ela modela a porcentagem COM praga, não a porcentagem livre. O candidato que calcula o vértice e encontra 80% pode marcar a alternativa E, esquecendo de subtrair de 100% para obter a porcentagem livre. Além disso, é preciso verificar se o vértice está dentro do intervalo [1, 12] — e está, pois x = 8.
Guarde o passo a passo: identificar que a função é quadrática com concavidade para baixo (a < 0) → calcular o vértice → verificar se está no intervalo → calcular o valor máximo → converter para a grandeza pedida (livre da praga).
Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO
A alternativa afirma que a menor porcentagem livre é 20% e ocorre no início de agosto. Isso está correto: o vértice da parábola está em x = 8 (início de agosto), onde f(8) = 80% (porcentagem com praga). Portanto, a porcentagem livre é 100% − 80% = 20%, que é a menor possível, pois é o ponto de máximo da função.
Alternativa B — ❌ Incorreta
Afirma que a menor porcentagem livre é 0% e ocorre no início de janeiro. Errado: em x = 1 (janeiro), f(1) = −(80/49) + (1280/49) − (1200/49) = 0/49 = 0%, ou seja, a porcentagem com praga é 0%, o que significa que a lavoura está 100% livre. Isso é o oposto do que se pede: é a MAIOR porcentagem livre, não a menor. O candidato pode confundir o valor de f(1) = 0% com a porcentagem livre, mas f(x) mede a praga, não a ausência dela.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Afirma que a menor porcentagem livre é 40% e ocorre no meio de julho. Errado: o valor 40% não corresponde a nenhum ponto relevante da função. Além disso, o vértice (ponto de máximo da praga) está em x = 8 (início de agosto), não no meio de julho (x = 7,5). O candidato pode ter calculado o vértice incorretamente ou confundido o valor de f(x) em algum outro ponto.
Alternativa D — ❌ Incorreta
Afirma que a menor porcentagem livre é 50% e ocorre no final de julho. Errado: o valor 50% não é o máximo de f(x), e o ponto de máximo não está no final de julho (x = 8 seria início de agosto). O candidato pode ter errado o cálculo do vértice ou interpretado o valor de f(x) em outro mês.
Alternativa E — ❌ Incorreta
Afirma que a menor porcentagem livre é 80% e ocorre no início de agosto. Errado: 80% é o valor de f(8), ou seja, a porcentagem COM praga no início de agosto. A porcentagem LIVRE é 100% − 80% = 20%. O candidato que calcula o vértice corretamente, mas esquece de subtrair de 100%, cai nessa armadilha.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a confusão entre a porcentagem com praga (f(x)) e a porcentagem livre. O vértice dá o máximo de f(x) = 80%, mas a pergunta é sobre a porcentagem LIVRE, que é o complemento: 20%. Quem marca a letra E calculou o vértice certo, mas respondeu a pergunta errada. Fique atento: leia sempre o que a função representa e o que a questão pede.
PEGA ESSA DICA!
Para questões de função quadrática aplicada, siga o roteiro: 1) identifique se a concavidade é para cima (mínimo) ou para baixo (máximo); 2) calcule o vértice com x_v = −b/(2a); 3) confira se x_v está no domínio; 4) calcule f(x_v); 5) interprete o resultado no contexto (aqui, subtraia de 100% para achar a porcentagem livre). Esse passo a passo resolve a maioria das questões de máximo/mínimo.