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Questão de Matemática — Área do Círculo, do Setor Circular e do Segmento Circular — VUNESP 2025

MatemáticaÁrea do Círculo, do Setor Circular e do Segmento Circular
Código
vu219241
Banca
VUNESP
Órgão
UNESP
Ano
2025
Cargo
V - - Vest ( )

A figura indica o pentágono UNESP, formado pelo quadrado UNSP e pelo triângulo equilátero NES, que compartilham o lado NS, de medida igual a 4 cm. Sabe-se, ainda, que a circunferência indicada na figura possui centro N e tangencia SE no ponto T.

 

Imagem associada para resolução da questão

 

Adotandoπ4+3=0,548\frac{\pi}{4 + \sqrt{3}} = 0,548, da região do pentágono UNESP, aquela que está ocupada pelo setor circular de centro N, indicado na figura em azul, corresponde a

  1. A68,5%.
  2. B66,5%.
  3. C70,5%.
  4. D72,5%.
  5. E74,5%.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 68,5%.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 68,5% — alternativa A.

A ideia por trás

O setor circular é a fatia de um círculo limitada por dois raios e pelo arco entre eles. Sua área é uma fração da área do círculo inteiro, proporcional ao ângulo central: um setor de 60° ocupa 60/360 = 1/6 do círculo. Já o pentágono UNESP é uma figura composta: um quadrado mais um triângulo equilátero colados por um lado comum.

A área de um setor circular de raio r e ângulo central θ (em graus) é A_setor = (θ/360)·πr². A área de um quadrado de lado L é L², e a de um triângulo equilátero de lado L é (L²√3)/4. A porcentagem pedida é a razão entre a área do setor e a área total do pentágono, multiplicada por 100. O ponto crucial é identificar corretamente o ângulo do setor, que depende da posição do ponto de tangência T.

Esta questão exige descobrir o ângulo do setor a partir da tangência da circunferência com o lado SE. Como a tangência implica raio perpendicular ao lado, e o triângulo é equilátero, o ângulo central do setor é metade do ângulo interno do triângulo, ou seja, 30°.

O que a questão dá

  • lado do quadrado UNSP = 4 cm

  • lado do triângulo equilátero NES = 4 cm

  • circunferência com centro N tangencia SE em T

  • aproximação fornecida: π/(4+√3) = 0,548

O que queremos: a porcentagem da área do pentágono UNESP ocupada pelo setor circular de centro N

Passo 1 — Descobrir o ângulo do setor circular

A área do setor depende do ângulo central. A circunferência tem centro N e tangencia o lado SE em T; o raio NT é perpendicular a SE. No triângulo equilátero NES, a altura (que é o raio NT) divide o ângulo interno de 60° em dois ângulos de 30°. Portanto, o setor azul, delimitado pelos raios NS e NT, tem ângulo central de 30°.

Por que esta fórmula: Não há fórmula aqui; é uma análise geométrica: em um triângulo equilátero, a altura também é bissetriz, então o ângulo entre o lado NS e a altura NT é 30°.

30 ∘\boxed{30\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que o ângulo do setor é 60° (o ângulo interno do triângulo) sem perceber que o setor é limitado por NS e NT, não por NS e NE.

Passo 2 — Calcular a área do setor circular

Com o ângulo de 30° e o raio de 4 cm, podemos calcular a área da fatia azul. O raio é o lado do quadrado/triângulo, que mede 4 cm.

Por que esta fórmula: A área do setor é uma fração do círculo: (ângulo/360)·πr². Como o ângulo é 30°, a fração é 30/360 = 1/12.

Asetor=θ360⋅πr2A_{setor} = \frac{\theta}{360} \cdot \pi r^{2}

De onde vem cada valor: θ\theta = passo 1: 30° · rr = enunciado: lado do quadrado = 4 cm

Asetor=30360⋅π⋅42=112⋅16π=4π3=4 π/3cm2A_{setor} = \frac{30}{360} \cdot \pi \cdot 4^{2} = \frac{1}{12} \cdot 16\pi = \frac{4\pi}{3} = \boxed{4\ \pi /3 \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 60° em vez de 30°, o que dobra a área do setor e leva a uma porcentagem errada.

Passo 3 — Calcular a área do quadrado

O pentágono é formado pelo quadrado e pelo triângulo. Precisamos da área de cada parte para somar e obter a área total.

Por que esta fórmula: A área de um quadrado é lado ao quadrado.

Aquad=L2A_{quad} = L^{2}

De onde vem cada valor: LL = enunciado: 4 cm

Aquad=42=16=16 cm2A_{quad} = 4^{2} = 16 = \boxed{16\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir lado com diagonal; aqui o lado é dado diretamente.

Passo 4 — Calcular a área do triângulo equilátero

O triângulo NES é equilátero de lado 4 cm, e sua área entra na soma da área total do pentágono.

Por que esta fórmula: A área de um triângulo equilátero de lado L é (L²√3)/4, fórmula que vem da base vezes altura dividido por dois, com altura L√3/2.

Atri=L234A_{tri} = \frac{L^{2} \sqrt{3}}{4}

De onde vem cada valor: LL = enunciado: 4 cm

Atri=4234=1634=43=4 √3cm2A_{tri} = \frac{4^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} = \boxed{4\ √3 \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 4, usando L²√3 diretamente.

Passo 5 — Somar as áreas para obter a área total

A área do pentágono é a soma das áreas do quadrado e do triângulo, pois eles compartilham apenas o lado NS e não se sobrepõem.

Por que esta fórmula: A área total é a soma das áreas das figuras que compõem o pentágono.

Atotal=Aquad+AtriA_{total} = A_{quad} + A_{tri}

De onde vem cada valor: AquadA_{quad} = passo 3: 16 cm² · AtriA_{tri} = passo 4: 4√3 cm²

Atotal=16+43=4(4+3)=4 (4+√3)cm2A_{total} = 16 + 4\sqrt{3} = 4(4 + \sqrt{3}) = \boxed{4\ (4+√3) \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair as áreas em vez de somar, pensando que o triângulo está dentro do quadrado.

Passo 6 — Calcular a porcentagem da área do setor

A pergunta pede a porcentagem que o setor ocupa no pentágono. Isso é a razão entre a área do setor e a área total, vezes 100.

Por que esta fórmula: Porcentagem é a razão entre a parte e o todo, multiplicada por 100.

%=AsetorAtotal×100\% = \frac{A_{setor}}{A_{total}} \times 100

De onde vem cada valor: AsetorA_{setor} = passo 2: 4π/3 cm² · AtotalA_{total} = passo 5: 4(4+√3) cm²

%=4π34(4+3)×100=4π12(4+3)×100=π3(4+3)×100=68,5 %\% = \frac{\frac{4\pi}{3}}{4(4+\sqrt{3})} \times 100 = \frac{4\pi}{12(4+\sqrt{3})} \times 100 = \frac{\pi}{3(4+\sqrt{3})} \times 100 = \boxed{68{,}5\ \%}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a área do setor com ângulo de 60° (8π/3) em vez de 30° (4π/3), o que daria aproximadamente 137%, um valor absurdo.

Resposta: 68,5% — alternativa A

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