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Questão de Matemática — Geometria Espacial — VUNESP 2025

MatemáticaGeometria Espacial
Código
vu219242
Banca
VUNESP
Órgão
UNESP
Ano
2025
Cargo
V - - Vest ( )
Um cilindro circular reto de altura h e raio da base igual a 1 m está apoiado na base quadrada de uma pirâmide reta, de aresta da base medindo 8 m e altura igual a 10 m, como mostra a figura.   Na posição descrita, o maior valor possível de h, em metros, para que o cilindro não ultrapasse o interior da pirâmide, é igual aImagem associada para resolução da questão
  1. A7,5.
  2. B6,0.
  3. C6,5.
  4. D5,5.
  5. E7,0.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 7,5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 7,5 m — alternativa A.

A ideia por trás

A pirâmide reta de base quadrada é um sólido que afunila até um vértice. O cilindro, apoiado na base, só pode subir até onde as paredes inclinadas deixam. A seção que corta a pirâmide pelo centro da base e pelo vértice mostra um triângulo isósceles, e o cilindro vira um retângulo dentro dele.

Em qualquer altura, a largura da pirâmide diminui linearmente conforme se sobe. Isso é descrito por semelhança de triângulos: a razão entre a largura em uma altura e a largura da base é igual à razão entre a altura restante e a altura total. Assim, a largura disponível em uma altura h é proporcional a (10 - h).

Para o cilindro caber, a largura disponível na altura h deve ser pelo menos o diâmetro do cilindro (2 m). Igualando essas medidas, encontramos a altura máxima.

O que a questão dá

  • raio da base do cilindro = 1 m

  • aresta da base da pirâmide = 8 m

  • altura da pirâmide = 10 m

O que queremos: a altura máxima do cilindro para que ele fique inteiramente dentro da pirâmide

Passo 1 — Desenhar a seção transversal

A pirâmide é um sólido tridimensional, mas a condição de o cilindro caber é mais fácil de enxergar em um corte. Cortando pelo centro da base e pelo vértice, a pirâmide vira um triângulo isósceles de base 8 m e altura 10 m, e o cilindro vira um retângulo de largura 2 m (o diâmetro) apoiado na base.

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o cilindro tem raio 1 m, então o diâmetro é 2 m, e usar 1 m na largura do retângulo.

Passo 2 — Montar a semelhança de triângulos

No topo do cilindro, a uma altura h, a largura disponível dentro da pirâmide é a base de um triângulo menor, semelhante ao triângulo original. A altura desse triângulo menor é 10 - h. Como os triângulos são semelhantes, a razão entre a largura e a altura é constante.

Por que esta fórmula: A semelhança de triângulos diz que a razão entre lados correspondentes é igual. Aqui, a razão entre a largura no topo e a base (8 m) é igual à razão entre a altura restante (10 - h) e a altura total (10 m).

10−h10=28\frac{10 - h}{10} = \frac{2}{8}

De onde vem cada valor: 10−h10 - h = definição: altura restante acima do cilindro · 1010 = enunciado: altura da pirâmide = 10 m · 22 = definição: diâmetro do cilindro = 2 × raio = 2 × 1 m · 88 = enunciado: aresta da base da pirâmide = 8 m

10−h10=28\frac{10 - h}{10} = \frac{2}{8}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a razão, colocando 8/2 em vez de 2/8, o que daria h negativo.

Passo 3 — Resolver a equação para h

A semelhança já deu a equação que relaciona h com as medidas conhecidas. Agora é só isolar h para descobrir a altura máxima.

Por que esta fórmula: Multiplicando ambos os lados por 10, obtemos 10 - h = 2,5, e então h = 10 - 2,5.

h=10−10×28h = 10 - \frac{10 \times 2}{8}

De onde vem cada valor: 1010 = enunciado: altura da pirâmide = 10 m · 22 = definição: diâmetro do cilindro = 2 × raio = 2 × 1 m · 88 = enunciado: aresta da base da pirâmide = 8 m

h=10−208=7,5 mh = 10 - \frac{20}{8} = \boxed{7{,}5\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Fazer 10 - 2,5 = 7,5, mas esquecer de simplificar a fração 20/8 para 2,5.

Resposta: 7,5 m — alternativa A

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