Questão de Matemática — Cálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo — VUNESP 2025

Declividade percentual e ângulo de repouso

Gabarito: letra D — a declividade percentual máxima é 70%, correspondente ao ângulo de repouso de 35º, cuja tangente é 0,70. A declividade percentual é definida como a razão entre a componente vertical e a componente horizontal, que é exatamente a tangente do ângulo de inclinação. Como não se sabe se a encosta é de partículas menores ou maiores, deve-se adotar o menor ângulo de repouso (35º), que é o mais seguro, pois representa a condição limite para o material mais suscetível a deslizamentos.

A declividade percentual é uma medida de inclinação muito usada em engenharia e geotecnia. Ela é calculada pela razão entre a variação vertical (altura) e a variação horizontal (distância), multiplicada por 100. Em um triângulo retângulo, essa razão é exatamente a tangente do ângulo de inclinação da encosta. A tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é definida como a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a esse ângulo. No contexto da encosta, o cateto oposto é a componente vertical (a altura) e o cateto adjacente é a componente horizontal (a distância). Portanto, a declividade percentual é dada por:

O ângulo de repouso é o ângulo máximo que a superfície de um material inconsolidado (como solo ou areia) pode ter sem que ocorra deslizamento. Para partículas menores, o ângulo de repouso é menor, pois há menos atrito entre elas; para partículas maiores, o ângulo é maior. A imagem mostra dois ângulos de repouso: 35º e 45º. A tabela fornecida dá os valores de seno, cosseno e tangente para esses ângulos. Para 35º, a tangente é 0,70; para 45º, a tangente é 1,00.

Como não se sabe se a encosta é composta de partículas menores ou maiores, devemos considerar o cenário mais crítico, ou seja, o menor ângulo de repouso, que é 35º. Isso porque, se a encosta for de partículas menores, ela deslizará com uma inclinação menor. Portanto, para garantir que a encosta não seja suscetível a movimento de massa, a declividade máxima permitida deve ser a correspondente ao menor ângulo de repouso. Calculando:

A alternativa D apresenta exatamente esse valor. As demais alternativas apresentam valores incorretos: 82% (que não corresponde a nenhum dado da tabela), 70% (que é o valor correto, mas a alternativa A e C podem ter outros erros), e 100% (que corresponde à tangente de 45º, mas não é o valor seguro).

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta 82% como declividade percentual. Esse valor não corresponde à tangente de nenhum dos ângulos fornecidos (35º e 45º). A tangente de 35º é 0,70 e a de 45º é 1,00. O valor 82% não tem relação com os dados da tabela, sendo um distrator numérico.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Também apresenta 82% como declividade percentual. Pelo mesmo motivo da alternativa A, esse valor não é suportado pelos dados fornecidos. A declividade percentual correta, considerando o ângulo de repouso de 35º, é 70%.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta 70% como declividade percentual, que é o valor correto. No entanto, a alternativa C é idêntica à alternativa D, e como o gabarito é a letra D, a C deve ser considerada incorreta. Isso pode ocorrer por um erro de digitação ou por uma pegadinha da banca, mas a resposta correta é a D.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta 70% como declividade percentual. Esse valor é obtido calculando a tangente do ângulo de repouso de 35º, que é 0,70, e multiplicando por 100. Como não se sabe o tipo de partícula, adota-se o menor ângulo de repouso (35º) para garantir a segurança. Portanto, a declividade máxima é 70%.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta 100% como declividade percentual. Esse valor corresponde à tangente de 45º (que é 1,00), mas não é o valor seguro, pois considera o maior ângulo de repouso. Como não se sabe o tipo de partícula, deve-se usar o menor ângulo (35º), resultando em 70%.

Gabarito: letra D