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Questão de Matemática — Progressão Geométrica — VUNESP 2025

MatemáticaProgressão Geométrica
Código
vu219244
Banca
VUNESP
Órgão
UNESP
Ano
2025
Cargo
V - - Vest ( )
Uma empresa de apostas lucra 7% de todo o dinheiro apostado pelos jogadores e repassa 93% do dinheiro apostado de volta aos jogadores. Admita que, inicialmente, o volume de dinheiro apostado pelos jogadores seja igual a R reais, e que todos eles reapostem, consecutivamente, x vezes todo o dinheiro que receberam de volta da empresa a cada nova aposta.   Considerando que a soma dos n termos iniciais de uma progressão geométrica de primeiro termo a1 e razão q é dada por a1(1−qn)1−q\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}, se G(x) é o ganho, em reais, acumulado dessa empresa de apostas após x vezes em que os jogadores fizeram suas apostas, a fórmula que calcula G(x) é:
  1. AG(x)=R⋅(1−0,07x)G(x) = R \cdot (1 - 0,07^x)
  2. BG(x)=R⋅(1−0,93x)G(x) = R \cdot (1 - 0,93^x)
  3. CG(x)=R⋅1−0,93x0,07G(x) = R \cdot \frac{1 - 0,93^x}{0,07}
  4. DG(x)=R⋅1−0,07x0,93G(x) = R \cdot \frac{1 - 0,07^x}{0,93}
  5. EG(x)=R⋅0,93⋅(1−0,07x)G(x) = R \cdot 0,93 \cdot (1 - 0,07^x)
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — G(x) = R \cdot (1 - 0,93^x)

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Progressão Geométrica aplicada a um problema de apostas

Gabarito: letra B. O ganho acumulado da empresa após x rodadas é dado por G(x)=R⋅(1−0,93x)G(x) = R \cdot (1 - 0,93^x), pois o lucro de cada rodada é 7% do valor apostado, e os valores apostados formam uma progressão geométrica de razão 0,93, cuja soma dos x primeiros termos é R⋅1−0,93x1−0,93R \cdot \frac{1 - 0,93^x}{1 - 0,93}; multiplicando essa soma por 0,07, obtemos exatamente a expressão da alternativa B.

A ideia por trás

O problema descreve um ciclo: os jogadores apostam um total de R reais; a empresa fica com 7% (lucro) e devolve 93% (0,93R). Esse valor devolvido é reapostado integralmente, e o ciclo se repete x vezes. A cada rodada, o volume apostado é 93% do volume da rodada anterior, formando uma progressão geométrica (P.G.) de primeiro termo a1=Ra_1 = R e razão q=0,93q = 0,93.

A empresa lucra 7% de cada volume apostado. Assim, o lucro da rodada k é 0,07⋅ak0,07 \cdot a_k. O ganho acumulado após x rodadas é a soma dos lucros de todas as rodadas:

G(x)=0,07⋅a1+0,07⋅a2+…+0,07⋅ax=0,07⋅(a1+a2+…+ax)G(x) = 0,07 \cdot a_1 + 0,07 \cdot a_2 + \ldots + 0,07 \cdot a_x = 0,07 \cdot (a_1 + a_2 + \ldots + a_x)

A soma dos x primeiros termos de uma P.G. é dada pela fórmula fornecida no enunciado:

Sx=a1(1−qx)1−qS_x = \frac{a_1(1 - q^x)}{1 - q}

Substituindo a1=Ra_1 = R e q=0,93q = 0,93:

Sx=R(1−0,93x)1−0,93=R(1−0,93x)0,07S_x = \frac{R(1 - 0,93^x)}{1 - 0,93} = \frac{R(1 - 0,93^x)}{0,07}

Portanto:

G(x)=0,07⋅R(1−0,93x)0,07=R⋅(1−0,93x)G(x) = 0,07 \cdot \frac{R(1 - 0,93^x)}{0,07} = R \cdot (1 - 0,93^x)

A fração 0,070,07\frac{0,07}{0,07} se cancela, e o resultado é a alternativa B.

Por que a razão é 0,93 e não 0,07?

A razão da P.G. é o fator que multiplica o termo anterior para obter o próximo. Como os jogadores reapostam 93% do que recebem, o volume apostado na rodada seguinte é 0,930,93 vezes o volume da rodada atual. O 0,07 é a taxa de lucro da empresa, que incide sobre cada termo da P.G., mas não é a razão da progressão.

Exemplo numérico para fixar

Suponha que R=100R = 100 e x=2x = 2:

  • Rodada 1: aposta-se R$ 100. A empresa lucra R$ 7 e devolve R$ 93.

  • Rodada 2: aposta-se R$ 93 (os R$ 93 devolvidos). A empresa lucra 0,07×93=6,510,07 \times 93 = 6,51.

  • Ganho total: 7+6,51=13,517 + 6,51 = 13,51.

Aplicando a fórmula: G(2)=100⋅(1−0,932)=100⋅(1−0,8649)=100⋅0,1351=13,51G(2) = 100 \cdot (1 - 0,93^2) = 100 \cdot (1 - 0,8649) = 100 \cdot 0,1351 = 13,51. Confere!

A pegadinha da banca

A banca explora a confusão entre a razão da P.G. (0,93) e a taxa de lucro (0,07). O candidato que monta a P.G. com razão 0,07 (alternativa A) ou que aplica a fórmula da soma com o 0,07 no denominador sem cancelar (alternativa C) cai nos distratores. A chave é identificar que o volume apostado decresce em progressão geométrica de razão 0,93, e o lucro é uma fração constante (7%) de cada termo.

  1. 1Identificar a P.G. (razão 0,93)
  2. 2Somar os x termos: R·(1-0,93ˣ)/0,07
  3. 3Multiplicar pela taxa de lucro (0,07)
  4. 4Cancelar 0,07 → G(x)=R·(1-0,93ˣ)
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Critério

Alternativa B (correta)

Alternativa C (distrator comum)

Alternativa A (distrator)

Razão da P.G. usada

0,93 (correta: jogadores reapostam 93%)

0,93 (correta)

0,07 (errada: é a taxa de lucro, não a razão)

O que a expressão calcula

Ganho acumulado da empresa (soma dos lucros de 7% sobre cada termo)

Soma dos volumes apostados (soma da P.G. sem aplicar o lucro)

Ganho acumulado, mas com razão errada

Tratamento do fator 0,07

Multiplica a soma da P.G. por 0,07 e cancela com o denominador 0,07 → sobra 1−0,93x1 - 0,93^x

Deixa o 0,07 no denominador (não multiplica pelo lucro)

Usa 0,07 como base da potência (razão)

Resultado para R = 100, x = 2

100(1−0,932)=13,51100(1 - 0,93^2) = 13,51 (correto: 7 + 6,51)

100⋅1−0,9320,07≈193100 \cdot \frac{1 - 0,93^2}{0,07} \approx 193 (volume total apostado, não lucro)

100(1−0,072)=99,51100(1 - 0,07^2) = 99,51 (absurdo: lucro quase igual ao valor inicial)

Erro conceitual associado

Nenhum (gabarito)

Confunde soma da P.G. com ganho da empresa (falta multiplicar por 0,07)

Confunde taxa de lucro com razão da progressão

Alternativa A — ❌ Incorreta

G(x)=R⋅(1−0,07x)G(x) = R \cdot (1 - 0,07^x) usa 0,07 como razão da P.G., mas 0,07 é a taxa de lucro, não o fator de multiplicação do volume apostado. A razão correta é 0,93, pois os jogadores reapostam 93% do valor recebido.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o ganho acumulado é G(x)=R⋅(1−0,93x)G(x) = R \cdot (1 - 0,93^x). A soma da P.G. de razão 0,93, multiplicada pela taxa de lucro 0,07, resulta exatamente nessa expressão, pois 0,070,07=1\frac{0,07}{0,07} = 1.

Alternativa C — ❌ Incorreta

G(x)=R⋅1−0,93x0,07G(x) = R \cdot \frac{1 - 0,93^x}{0,07} representa a soma dos volumes apostados (a soma da P.G.), não o ganho da empresa. Falta multiplicar pela taxa de lucro de 7%, que cancelaria o denominador 0,07.

Alternativa D — ❌ Incorreta

G(x)=R⋅1−0,07x0,93G(x) = R \cdot \frac{1 - 0,07^x}{0,93} usa 0,07 como razão (errado, deveria ser 0,93) e divide por 0,93 (errado, o denominador correto da soma da P.G. seria 0,07). É uma combinação de dois erros conceituais.

Alternativa E — ❌ Incorreta

G(x)=R⋅0,93⋅(1−0,07x)G(x) = R \cdot 0,93 \cdot (1 - 0,07^x) multiplica por 0,93 (o fator de retorno) e usa 0,07 como razão. O ganho da empresa é 7% do volume apostado, não 93%, e a razão da P.G. é 0,93, não 0,07.

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca os papéis de 0,07 e 0,93. O candidato que confunde a taxa de lucro com a razão da progressão cai nas alternativas A, D ou E. Lembre-se: a razão é o fator que multiplica o termo anterior (0,93, pois os jogadores reapostam 93%), e o lucro é uma porcentagem aplicada sobre cada termo (7%).

PEGA ESSA DICA!

Para resolver problemas de P.G. aplicada, identifique primeiro o que forma a progressão (no caso, o volume apostado) e qual é a razão (o fator de multiplicação entre rodadas). Depois, verifique se a grandeza pedida é a soma dos termos ou uma fração dela. Monte a fórmula passo a passo e simplifique antes de olhar as alternativas.

Gabarito: letra B

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