Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2025
Matemática›Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc)
Código
vu219247
Banca
VUNESP
Órgão
CM Cerquilho
Ano
2025
Cargo
Cont ( )
Em um terreno plano com formato retangular foi construída uma quadra de futebol de salão, também retangular, com dimensões 40 m e 20 m. Ao redor dessa quadra, construiu-se uma pista para corridas, com 256 m2 de área e largura constante de x m, conforme representadas na figura:
(figura fora de escala)
Sabendo-se que a quadra e a pista ocuparam todo o terreno, é correto afirmar que o perímetro desse terreno é de
A124 m.
B128 m.
C132 m.
D136 m.
E140 m.
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GabaritoD — 136 m.
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a 136 m — alternativa D.
A ideia por trás
Um retângulo é uma figura de quatro lados com ângulos retos; sua área é o produto do comprimento pela largura, e seu perímetro é a soma dos quatro lados, ou seja, o dobro da soma de comprimento e largura. Quando uma faixa de largura constante envolve um retângulo por todos os lados, ela aumenta cada dimensão em duas vezes essa largura — uma vez para cada lado.
Se a quadra tem comprimento C e largura L, e a pista tem largura x, o terreno externo tem comprimento C + 2x e largura L + 2x. A área da pista é a diferença entre a área do terreno e a área da quadra: (C + 2x)(L + 2x) - C·L. Essa diferença cresce com x, e igualá-la ao valor dado permite descobrir x. Depois, o perímetro do terreno é 2·[(C + 2x) + (L + 2x)].
Esta questão pede para usar a área da pista para achar a largura x, e então calcular o perímetro do terreno. O passo crucial é montar a equação da área da pista como diferença de áreas, sem esquecer que a pista aumenta cada dimensão em 2x.
O que a questão dá
dimensões da quadra: 40 m e 20 m
área da pista: 256 m²
largura da pista: x m (constante)
O que queremos: o perímetro do terreno retangular que contém a quadra e a pista
Passo 1 — Escrever as dimensões do terreno
A pista envolve a quadra por todos os lados, então cada lado do terreno é o lado da quadra mais duas vezes a largura da pista: uma para cada lado. Isso é a base para calcular a área do terreno.
Por que esta fórmula: Não é uma fórmula pronta, é a interpretação geométrica: o terreno é um retângulo maior que contém a quadra, com a pista ao redor. Cada dimensão da quadra é acrescida de x em cada extremidade, totalizando 2x.
De onde vem cada valor: = enunciado: comprimento da quadra · = enunciado: largura da quadra · = enunciado: largura da pista
NÃO CAIA NESSA!
Somar apenas x em vez de 2x em cada dimensão — isso subestima o tamanho do terreno.
Passo 2 — Montar a equação da área da pista
A área da pista é a diferença entre a área do terreno e a área da quadra. Como conhecemos a área da pista (256 m²), essa diferença vira uma equação que permite achar x.
Por que esta fórmula: A área de um retângulo é base vezes altura. A área do terreno é (40+2x)(20+2x), a da quadra é 40·20 = 800. A pista é a parte que sobra, então subtraímos.
De onde vem cada valor: = passo 1: comprimento do terreno · = passo 1: largura do terreno · = enunciado: 40 × 20 (área da quadra) · = enunciado: área da pista
NÃO CAIA NESSA!
Calcular a área da pista como 40x + 20x, esquecendo os cantos — isso daria uma equação errada.
Passo 3 — Expandir e simplificar a equação
Para resolver a equação, precisamos transformá-la em uma forma mais simples. Expandir o produto e cancelar os termos iguais reduz a equação a uma quadrática.
Por que esta fórmula: Usamos a propriedade distributiva: (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd. Depois, subtraímos 800 dos dois lados para simplificar.
De onde vem cada valor: = passo 2: 2x · 2x · = passo 2: 40·2x + 20·2x · = passo 2: área da pista
NÃO CAIA NESSA!
Errar a expansão, por exemplo, esquecer o termo 4x².
Passo 4 — Resolver a equação do segundo grau
A equação simplificada é uma quadrática; precisamos encontrar o valor de x que a satisfaz. Como x é uma medida de comprimento, só a raiz positiva interessa.
Por que esta fórmula: Dividimos por 4 para simplificar e usamos a fórmula de Bhaskara: x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a).
De onde vem cada valor: = passo 3: 4x²/4 · = passo 3: 120x/4 · = passo 3: -256/4
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer a raiz negativa e considerar x = -32 como possível, mas comprimento não pode ser negativo.
Passo 5 — Calcular as dimensões do terreno
Com o valor de x, podemos obter as dimensões reais do terreno, que são necessárias para o perímetro.
Por que esta fórmula: Substituímos x = 2 nas expressões do passo 1.
De onde vem cada valor: = enunciado: comprimento da quadra · = enunciado: largura da quadra · = passo 4: valor de x
NÃO CAIA NESSA!
Usar x = 2 apenas uma vez, resultando em 42 e 22.
Passo 6 — Calcular o perímetro do terreno
O perímetro é a soma dos quatro lados do retângulo. Com as dimensões corretas, basta aplicar a fórmula.
Por que esta fórmula: O perímetro de um retângulo é 2 vezes a soma do comprimento com a largura.
De onde vem cada valor: = passo 5: 44 m · = passo 5: 24 m
NÃO CAIA NESSA!
Somar apenas uma vez cada dimensão, resultando em 68 m.
