Questão de Matemática — Equações de Primeiro Grau — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a R$ 18,00 — alternativa D.

A ideia por trás

Um sistema de equações do 1º grau é um conjunto de equações que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. Aqui, cada compra vira uma equação, e as incógnitas são os preços unitários: o preço do sanduíche e o preço do suco. Resolver o sistema é achar os valores dessas incógnitas que satisfazem as duas compras.

A relação é a de que o total pago é a soma dos produtos: quantidade vezes preço de cada item. Se o preço do sanduíche é s e o do suco é c, então 5 sanduíches e 3 sucos custam 5s + 3c. O sistema fica com duas equações e duas incógnitas, e existem métodos para resolvê-lo, como o da adição, que elimina uma incógnita somando as equações após multiplicá-las por números convenientes.

Esta questão pede para montar o sistema a partir das compras de Pedro e Maria, resolver para achar s e c, e então somar os dois valores para responder o que Paulo pagará.

O que a questão dá

• 5 sanduíches + 3 sucos = R$ 74,00

• 2 sanduíches + 4 sucos = R$ 52,00

O que queremos: o preço de 1 sanduíche + 1 suco

Passo 1 — Montar as equações das compras

Precisamos transformar o texto em matemática. Cada compra é uma equação: o total pago é a soma dos produtos (quantidade × preço). Chamamos o preço do sanduíche de s e o do suco de c.

Por que esta fórmula: A equação representa o custo total: 5 sanduíches a s reais cada mais 3 sucos a c reais cada dá 74 reais. O mesmo para Maria.

De onde vem cada valor: $5s$ = enunciado: Pedro comprou 5 sanduíches · $3c$ = enunciado: Pedro comprou 3 sucos · $74$ = enunciado: Pedro pagou R$ 74,00 · $2s$ = enunciado: Maria comprou 2 sanduíches · $4c$ = enunciado: Maria comprou 4 sucos · $52$ = enunciado: Maria pagou R$ 52,00

Passo 2 — Eliminar uma incógnita pelo método da adição

Com duas equações e duas incógnitas, precisamos reduzir para uma equação com uma incógnita. O método da adição faz isso multiplicando as equações por números que tornem os coeficientes de uma incógnita opostos, para que se cancelem na soma.

Por que esta fórmula: Os coeficientes de c são 3 e 4; o MMC é 12. Multiplicando a primeira por 4 e a segunda por -3, os coeficientes de c viram +12 e -12, que se anulam ao somar.

De onde vem cada valor: $20s$ = passo 1: 5s × 4 · $12c$ = passo 1: 3c × 4 · $296$ = passo 1: 74 × 4 · $-6s$ = passo 1: 2s × (-3) · $-12c$ = passo 1: 4c × (-3) · $-156$ = passo 1: 52 × (-3)

Passo 3 — Somar as equações para achar s

Agora que os coeficientes de c são opostos, somar as duas equações elimina c e sobra uma equação só com s, que resolvemos isolando s.

Por que esta fórmula: A soma das equações é válida porque estamos somando igualdades: se a = b e c = d, então a+c = b+d. Aqui, somamos os lados esquerdos e os direitos.

De onde vem cada valor: $14s$ = passo 2: 20s + (-6s) · $140$ = passo 2: 296 + (-156)

Passo 4 — Substituir s para achar c

Com s = 10, usamos uma das equações originais para encontrar c. Escolhemos a de Maria porque tem números menores.

Por que esta fórmula: Substituir o valor conhecido de s na equação transforma-a em uma equação de primeiro grau só com c, que resolvemos isolando c.

De onde vem cada valor: $2$ = enunciado: Maria comprou 2 sanduíches · $10$ = passo 3: s = 10 · $4$ = enunciado: Maria comprou 4 sucos · $52$ = enunciado: Maria pagou R$ 52,00

Passo 5 — Somar os preços para Paulo

A pergunta é quanto Paulo paga por 1 sanduíche e 1 suco, ou seja, a soma s + c. Já temos os valores individuais, então basta somar.

Por que esta fórmula: O custo total é a soma dos preços unitários, pois ele compra um de cada.

De onde vem cada valor: $s$ = passo 3: 10 · $c$ = passo 4: 8

Resposta: R$ 18,00 — alternativa D