Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2025
Matemática›Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
vu219264
Banca
VUNESP
Órgão
USJT
Ano
2025
Cargo
Vest Med ( )
Oito atletas disputaram uma corrida de 100 metros rasos, todos com chances iguais de vencer. Nessas condições, o número de maneiras diferentes de se formar o pódio, ou seja, de distribuir as medalhas de ouro, prata e bronze entre esses atletas, considerando a ordem de chegada, é
A512.
B336.
C6.
D56.
E120.
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GabaritoB — 336.
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Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a 336 maneiras — alternativa B.
A ideia por trás
Análise combinatória é a parte da matemática que conta de quantas formas diferentes podemos escolher ou organizar elementos. Quando a ordem importa, como no pódio (ouro é diferente de prata), usamos arranjo; quando a ordem não importa, usamos combinação. O princípio fundamental da contagem diz que, se temos etapas sucessivas, o total é o produto das possibilidades de cada etapa.
No arranjo simples de n elementos tomados p a p, a fórmula é A(n,p) = n!/(n-p)!. Ela vem do princípio multiplicativo: para a primeira posição temos n opções, para a segunda n-1, e assim por diante, até n-p+1. O resultado cresce rapidamente com n e p, e a ordem dos elementos muda o resultado — por isso arranjo é maior que combinação para os mesmos n e p.
Esta questão cobra exatamente a distinção entre arranjo e combinação: como o pódio tem posições distintas (ouro, prata, bronze), a ordem importa, então devemos usar arranjo simples de 8 tomados 3 a 3.
O que a questão dá
oito atletas disputaram a corrida
3 medalhas: ouro, prata e bronze
ordem de chegada importa
O que queremos: o número de maneiras de distribuir as medalhas de ouro, prata e bronze entre os 8 atletas
Passo 1 — Escolher o atleta para o ouro
O pódio é formado por três escolhas sucessivas: primeiro o campeão, depois o vice, depois o terceiro. Começamos pelo ouro porque é a primeira posição a ser preenchida, e qualquer um dos 8 atletas pode vencê-la.
Por que esta fórmula: Não há fórmula ainda; é o princípio fundamental da contagem: para a primeira etapa, temos 8 possibilidades.
NÃO CAIA NESSA!
Pensar que o ouro pode ser escolhido de 8 formas e depois multiplicar por 8 novamente, esquecendo que o mesmo atleta não pode repetir.
Passo 2 — Escolher o atleta para a prata
Depois de definir o ouro, restam 7 atletas para a prata, pois o campeão não pode ser também vice. Essa é a segunda etapa do preenchimento do pódio.
Por que esta fórmula: Novamente pelo princípio multiplicativo: para cada escolha de ouro, há 7 opções de prata.
NÃO CAIA NESSA!
Contar 8 opções para a prata, ignorando que o ouro já foi escolhido.
Passo 3 — Escolher o atleta para o bronze
Com ouro e prata definidos, sobram 6 atletas para o bronze. É a última etapa do pódio.
Por que esta fórmula: Pelo mesmo princípio: para cada par ouro-prata, há 6 opções de bronze.
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que dois atletas já foram usados, contando 8 ou 7 opções.
Passo 4 — Multiplicar as possibilidades de cada etapa
O princípio fundamental da contagem diz que, quando as escolhas são sucessivas e independentes, o total é o produto das possibilidades de cada etapa. Aqui, cada escolha depende da anterior (não pode repetir atleta), então multiplicamos 8 × 7 × 6.
Por que esta fórmula: Essa é a aplicação direta do PFC, que é a base do arranjo simples. A fórmula A(8,3) = 8!/(8-3)! = 8!/5! = 8×7×6 é exatamente essa multiplicação.
De onde vem cada valor: = passo 1: opções para o ouro · = passo 2: opções para a prata · = passo 3: opções para o bronze
NÃO CAIA NESSA!
Usar combinação C(8,3) = 56, que ignora a ordem, ou calcular 8³ = 512, que permite repetição do mesmo atleta.