Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu219265

Cálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo

Gabarito: letra C — a distância entre B e C é maior que 5 m e menor que 5,5 m. A resolução usa a tangente do ângulo de 30° no triângulo retângulo ABC, relacionando a altura AB (3 m) com a distância horizontal BC, e a aproximação fornecida para √3.

A questão envolve um triângulo retângulo formado pela trajetória da bola, a altura do saque e a distância horizontal até o ponto de queda. No triângulo ABC, retângulo em B, temos o cateto oposto ao ângulo de 30° (AB = 3 m) e o cateto adjacente (BC, que queremos descobrir). A razão trigonométrica que relaciona cateto oposto e cateto adjacente é a tangente.

A tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é definida como a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a esse ângulo. Para o ângulo de 30°, sabemos que:

\tan(30°) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} = \frac{AB}{BC}

O valor exato da tangente de 30° é:

\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Substituindo os valores conhecidos:

\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{BC}

Isolando BC:

BC = \frac{3 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}}

Racionalizando o denominador:

BC = \frac{9}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}

Agora, usando a aproximação fornecida no enunciado, $1{,}7 < \sqrt{3} < 1{,}75$ , multiplicamos por 3:

3 \cdot 1{,}7 < 3\sqrt{3} < 3 \cdot 1{,}75

5{,}1 < BC < 5{,}25

Portanto, a distância BC está entre 5,1 m e 5,25 m, o que se encaixa exatamente no intervalo da alternativa C: maior que 5 m e menor que 5,5 m.

A pegadinha desta questão está em não reconhecer que o triângulo formado é retângulo e que a tangente é a razão correta a ser usada. Muitos candidatos podem tentar usar seno ou cosseno, ou até mesmo o Teorema de Pitágoras sem ter a hipotenusa, o que levaria a um beco sem saída. A chave é identificar o ângulo de 30° e os catetos envolvidos.

1Identificar triângulo retângulo
2Usar tangente de 30°
3tan 30° = AB/BC
4BC = 9/√3 = 3√3
5Aproximar: 5,1 < BC < 5,25

LEVEL · soulevel.com.br

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a distância é maior que 3,5 m e menor que 4 m. Isso subestima o valor real. O cálculo correto mostra que BC ≈ 5,2 m, portanto essa alternativa está claramente fora do intervalo correto.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a distância é maior que 5,5 m e menor que 6 m. O valor calculado é aproximadamente 5,2 m, que é menor que 5,5 m. Portanto, essa alternativa superestima o resultado.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que a distância é maior que 5 m e menor que 5,5 m. O cálculo mostra que BC = 3√3 ≈ 5,2 m, que está exatamente dentro desse intervalo. Esta é a alternativa correta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a distância é maior que 4 m e menor que 4,5 m. O valor real é aproximadamente 5,2 m, que é maior que 4,5 m. Portanto, essa alternativa subestima o resultado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a distância é maior que 4,5 m e menor que 5 m. O valor calculado é aproximadamente 5,2 m, que é maior que 5 m. Portanto, essa alternativa também subestima o resultado.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre as razões trigonométricas. O candidato pode tentar usar seno ou cosseno, mas a relação correta é a tangente, pois temos o cateto oposto (altura) e queremos o cateto adjacente (distância horizontal). Identificar o ângulo de 30° e aplicar a tangente é o passo decisivo.

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de triângulo retângulo, identifique primeiro quais lados são conhecidos e qual é procurado. Se você tem o cateto oposto e quer o adjacente, use tangente. Se tem a hipotenusa e quer um cateto, use seno ou cosseno. Essa escolha rápida evita erros e economiza tempo na prova.

Gabarito: letra C