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Questão de Matemática — Congruência e Semelhança de Triângulos. Razão de Semelhança. — VUNESP 2025

MatemáticaCongruência e Semelhança de Triângulos. Razão de Semelhança.
Código
vu219272
Banca
VUNESP
Órgão
FESA
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
Um terreno retangular ABCD, com CD = 15 m e BC = 26 m, foi dividido em 4 regiões, I, II, III e IV, por 3 cercas: \overline {EH}, \overline {EB} e \overline {FN}. Os pontos E e F pertencem ao lado \overline {AD}, o ponto H pertence ao lado \overline {BC} e o ponto N pertence ao lado \overline {EB}, com EN = 10 m. Os triângulos retângulos EFN e BHE são retos em F e H, respectivamente, conforme mostra a figura. Sendo a região I um retângulo com 90 m2 de área, a área da região IV éImagem associada para resolução da questão
  1. A114 m2.
  2. B120 m2.
  3. C126 m2.
  4. D130 m2.
  5. E132 m2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 126 m2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 126 m² — alternativa C.

A ideia por trás

Quando dois triângulos têm os mesmos ângulos, eles são semelhantes: um é uma ampliação ou redução do outro. Isso significa que todos os lados correspondentes crescem ou diminuem na mesma proporção, chamada razão de semelhança. Essa propriedade permite descobrir medidas desconhecidas a partir de medidas conhecidas, mesmo sem desenhar tudo em escala.

A razão de semelhança k entre dois triângulos semelhantes é a razão entre dois lados correspondentes. Se um lado do triângulo maior vale k vezes o lado correspondente do menor, então todos os outros lados seguem a mesma regra. Além disso, as áreas de figuras semelhantes escalam com o quadrado de k, mas aqui usamos apenas a proporção dos lados para achar medidas e depois calcular a área de um trapézio.

Esta questão cobra justamente a semelhança entre os triângulos retângulos EFN e BHE: identificando que eles têm os mesmos ângulos, podemos usar a razão entre lados conhecidos para achar os lados que faltam e, com eles, calcular a área da região IV.

O que a questão dá

  • CD = 15 m

  • BC = 26 m

  • EN = 10 m

  • área da região I = 90 m²

O que queremos: a área da região IV

Passo 1 — Descobrir a altura da região I

A região I é um retângulo, e sua área é dada. Como conhecemos a largura do terreno (CD = 15 m), que é a base desse retângulo, podemos achar sua altura. Essa altura será usada para calcular outras medidas.

Por que esta fórmula: A área de um retângulo é base vezes altura. Aqui a base é a largura do terreno, 15 m, e a altura é o que queremos.

Aret=b×hA_{ret} = b \times h

De onde vem cada valor: AretA_{ret} = enunciado: 90 m² · bb = enunciado: CD = 15 m

90=15×h90 = 15 \times h
h=6 mh = \boxed{6\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir base e altura: usar 26 m como base, o que daria altura errada.

Passo 2 — Calcular o cateto BH do triângulo BHE

O triângulo BHE tem um cateto vertical BH que é a parte do lado BC que sobra depois de tirar a altura da região I. Precisamos desse valor para usar na semelhança.

Por que esta fórmula: BH é a diferença entre a altura total do terreno e a altura da região I, pois a região I ocupa a parte de cima.

BH=BC−hIBH = BC - h_{I}

De onde vem cada valor: BCBC = enunciado: 26 m · hIh_{I} = passo 1: 6 m

BH=26−6BH = 26 - 6
BH=20 mBH = \boxed{20\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar em vez de subtrair, achando 32 m.

Passo 3 — Achar a razão de semelhança

Os triângulos EFN e BHE são retângulos e compartilham o ângulo em E (pois E, F, A estão alinhados e E, B, C estão alinhados). Com dois ângulos iguais, eles são semelhantes, o que nos permite relacionar seus lados. Precisamos da razão entre lados correspondentes para achar as medidas que faltam.

Por que esta fórmula: Pelo caso AA (ângulo-ângulo), dois triângulos com dois ângulos correspondentes iguais são semelhantes. Aqui, o ângulo reto e o ângulo em E são comuns. A razão de semelhança k é a razão entre dois lados correspondentes: o cateto BH (20 m) corresponde ao cateto EF (6 m), pois ambos são verticais.

k=BHEFk = \frac{BH}{EF}

De onde vem cada valor: BHBH = passo 2: 20 m · EFEF = passo 1: 6 m

k=206k = \frac{20}{6}
k=103k = \boxed{\frac{10}{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a razão, usando 6/20, o que daria lados menores no triângulo maior.

Passo 4 — Calcular o lado BE do triângulo BHE

Conhecendo a razão de semelhança e o lado EN (10 m) do triângulo menor, podemos achar o lado correspondente BE no triângulo maior. Isso será usado para achar HE.

Por que esta fórmula: Como os triângulos são semelhantes, o lado BE é k vezes o lado correspondente EN.

BE=k×ENBE = k \times EN

De onde vem cada valor: kk = passo 3: 10/3 · ENEN = enunciado: 10 m

BE=103×10BE = \frac{10}{3} \times 10
BE=1003mBE = \boxed{\frac{100}{3} m}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar errado: 10/3 × 10 = 100/3, não 30.

Passo 5 — Achar o cateto FN do triângulo EFN

Precisamos da base menor do trapézio da região IV, que é FN. No triângulo EFN, conhecemos a hipotenusa EN e o cateto EF, então podemos achar FN.

Por que esta fórmula: O triângulo EFN é retângulo em F, então vale o teorema de Pitágoras: a hipotenusa ao quadrado é a soma dos quadrados dos catetos.

EN2=EF2+FN2EN^{2} = EF^{2} + FN^{2}

De onde vem cada valor: ENEN = enunciado: 10 m · EFEF = passo 1: 6 m

102=62+FN210^{2} = 6^{2} + FN^{2}
FN=8 mFN = \boxed{8\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar FN como hipotenusa, invertendo os papéis.

Passo 6 — Calcular a altura do trapézio da região IV

A região IV é um trapézio com bases FN e BH. A altura desse trapézio é a distância horizontal entre essas bases, que é a largura total menos a largura da região I.

Por que esta fórmula: A largura total do terreno é 15 m. A região I ocupa 6 m dessa largura, então o restante é a distância entre as cercas FN e BH.

hIV=CD−EFh_{IV} = CD - EF

De onde vem cada valor: CDCD = enunciado: 15 m · EFEF = passo 1: 6 m

hIV=15−6h_{IV} = 15 - 6
hIV=9 mh_{IV} = \boxed{9\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a altura vertical (26 m) como altura do trapézio, confundindo direções.

Passo 7 — Calcular a área da região IV

Agora temos todas as medidas do trapézio: bases FN = 8 m e BH = 20 m, e altura 9 m. Basta aplicar a fórmula da área do trapézio.

Por que esta fórmula: A área de um trapézio é a média das bases vezes a altura.

Atrap=(B+b)×h2A_{trap} = \frac{(B + b) \times h}{2}

De onde vem cada valor: BB = passo 2: BH = 20 m · bb = passo 5: FN = 8 m · hh = passo 6: 9 m

Atrap=(20+8)×92=126 m2A_{trap} = \frac{(20 + 8) \times 9}{2} = \boxed{126\ \text{m}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2, obtendo 252 m².

Resposta: 126 m² — alternativa C

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