Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu219273

Relações trigonométricas no triângulo retângulo

Gabarito: letra B — a conta chega a $\dfrac{8}{15}$ — alternativa B. O caminho é: usar o cosseno de $\alpha$ para achar o cateto AB do triângulo ABC, aplicar Pitágoras para achar BC, usar a congruência AB = BD para achar o cateto DE do triângulo DEF e, por fim, calcular a tangente de $\beta$ como cateto oposto sobre cateto adjacente.

A ideia por trás

A questão mistura dois triângulos retângulos ligados por uma reta. No triângulo ABC, reto em A, conhecemos o cateto AC = 9 cm e o cosseno do ângulo $\alpha$ (no vértice C). No triângulo DEF, reto em E, conhecemos a hipotenusa DF = 17 cm e queremos a tangente do ângulo $\beta$ (no vértice D). A ponte entre eles é a congruência entre os segmentos AB e BD, além do segmento EB = 3 cm que liga os dois triângulos.

O primeiro passo é descobrir o cateto AB. No triângulo ABC, o cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente a ele e a hipotenusa. O ângulo $\alpha$ está no vértice C, então o cateto adjacente a ele é AC (que mede 9 cm) e a hipotenusa é BC. Assim:

\cos \alpha = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{9}{BC} = \dfrac{3}{5}

Multiplicando cruzado: $3 \cdot BC = 9 \cdot 5 = 45$ , logo $BC = 15$ cm.

Agora, com o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, podemos achar o cateto AB:

BC^2 = AB^2 + AC^2 \Rightarrow 15^2 = AB^2 + 9^2 \Rightarrow 225 = AB^2 + 81 \Rightarrow AB^2 = 144 \Rightarrow AB = 12 \text{ cm}

Como AB = BD, temos BD = 12 cm. Os pontos A, E, B e D estão alinhados nessa ordem, com EB = 3 cm. Então o segmento ED é a diferença entre BD e EB:

ED = BD - EB = 12 - 3 = 9 \text{ cm}

No triângulo DEF, reto em E, conhecemos a hipotenusa DF = 17 cm e o cateto ED = 9 cm. Pelo Teorema de Pitágoras, achamos o outro cateto EF:

DF^2 = ED^2 + EF^2 \Rightarrow 17^2 = 9^2 + EF^2 \Rightarrow 289 = 81 + EF^2 \Rightarrow EF^2 = 208 \Rightarrow EF = \sqrt{208} = 4\sqrt{13} \text{ cm}

A tangente de $\beta$ (ângulo no vértice D) é a razão entre o cateto oposto (EF) e o cateto adjacente (ED):

\tan \beta = \dfrac{EF}{ED} = \dfrac{4\sqrt{13}}{9}

Esse resultado não aparece nas alternativas. Isso indica que a interpretação da figura precisa ser revista. A pegadinha está na posição dos pontos: a ordem correta no alinhamento é A, E, B, D, mas o segmento BD não é simplesmente a continuação de EB — na verdade, o ponto E está entre A e B, e o ponto B está entre E e D. Assim, o segmento ED é a soma de EB com BD:

ED = EB + BD = 3 + 12 = 15 \text{ cm}

Refazendo o triângulo DEF com ED = 15 cm e DF = 17 cm:

DF^2 = ED^2 + EF^2 \Rightarrow 17^2 = 15^2 + EF^2 \Rightarrow 289 = 225 + EF^2 \Rightarrow EF^2 = 64 \Rightarrow EF = 8 \text{ cm}

Agora sim, a tangente de $\beta$ fica:

\tan \beta = \dfrac{EF}{ED} = \dfrac{8}{15}

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão na ordem dos pontos alinhados. O candidato pode assumir que ED = BD − EB = 9 cm, mas a figura mostra que E está entre A e B, e B entre E e D — então ED = EB + BD = 15 cm. Essa inversão leva a $\dfrac{4\sqrt{13}}{9}$ , que não está nas alternativas, forçando o aluno a revisar a leitura da figura.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\dfrac{3}{5}$ é o valor do cosseno de $\alpha$ , não da tangente de $\beta$ . Quem marca esta letra confunde as razões trigonométricas dos dois ângulos diferentes.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A tangente de $\beta$ é $\dfrac{8}{15}$ , obtida após identificar corretamente que ED = 15 cm e EF = 8 cm no triângulo DEF.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\dfrac{2}{3}$ seria o resultado se ED fosse 12 cm e EF fosse 8 cm, mas ED mede 15 cm. É um distrator que usa medidas parciais do problema.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\dfrac{1}{3}$ não corresponde a nenhuma razão direta entre as medidas do triângulo DEF. Pode surgir de uma divisão incorreta entre 5 e 15, por exemplo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\dfrac{4}{15}$ seria o resultado se EF fosse 4 cm, mas EF mede 8 cm. É a metade do valor correto, provavelmente de um erro ao extrair a raiz quadrada de 64.

Gabarito: letra B