Questão de Matemática — Frações e Dízimas Periódicas — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 128 ligações de cobrança — alternativa B.

A ideia por trás

Razão é a comparação entre duas grandezas por divisão: dizer que a razão entre cobrança e suporte é 4/7 significa que, para cada 4 ligações de cobrança, há 7 de suporte. Essa informação sozinha não fixa os números — existem infinitos pares que satisfazem (4 e 7, 8 e 14, 12 e 21...). Por isso precisamos de um segundo dado, o total de ligações do dia, para encontrar o par exato.

Quando temos uma razão e um total, montamos um sistema de duas equações: uma para a razão (C/S = 4/7) e outra para a soma (C + S = total). A razão pode ser reescrita como 7C = 4S (multiplicando em cruz), o que permite substituir uma incógnita na equação da soma e resolver. Essa combinação razão + total é o método padrão para esse tipo de problema.

Esta questão fornece a razão do dia inteiro e os dados parciais para calcular o total do dia. O passo crucial é somar todas as ligações para obter o total e então aplicar o sistema.

O que a questão dá

• ligações de cobrança na 1ª metade = 84

• ligações de suporte na 1ª metade = 111

• ligações na 2ª metade (cobrança + suporte) = 157

• razão cobrança/suporte no dia = 4/7

O que queremos: o número total de ligações de cobrança no dia inteiro

Passo 1 — Calcular o total de ligações do dia

A razão dada vale para o dia inteiro, então precisamos do total de ligações do dia para usar junto com ela. Somamos as ligações da primeira metade (cobrança + suporte) com as da segunda metade.

Por que esta fórmula: O total é a soma de todas as ligações: as 84 de cobrança da manhã, as 111 de suporte da manhã e as 157 da tarde (que já incluem os dois assuntos).

De onde vem cada valor: $84$ = enunciado: ligações de cobrança na 1ª metade · $111$ = enunciado: ligações de suporte na 1ª metade · $157$ = enunciado: ligações na 2ª metade

Passo 2 — Montar o sistema com razão e total

Com o total em mãos, temos duas informações independentes: a soma das ligações de cobrança (C) e suporte (S) é 352, e a razão entre elas é 4/7. Essas duas equações juntas determinam C e S.

Por que esta fórmula: A razão C/S = 4/7 pode ser reescrita como 7C = 4S (multiplicando em cruz), o que facilita a substituição. A outra equação é C + S = 352.

De onde vem cada valor: $C$ = definição: total de ligações de cobrança no dia · $S$ = definição: total de ligações de suporte no dia · $352$ = passo 1 · $4/7$ = enunciado: razão cobrança/suporte

Passo 3 — Isolar uma incógnita na razão

Para resolver o sistema, precisamos expressar uma incógnita em função da outra. Da razão 7C = 4S, isolamos C = (4/7)S, que será substituída na equação da soma.

Por que esta fórmula: Dividindo ambos os lados de 7C = 4S por 7, obtemos C = (4/7)S. Essa é a forma mais direta para substituir.

De onde vem cada valor: $C$ = passo 2 · $S$ = passo 2 · $4/7$ = enunciado: razão

Passo 4 — Substituir na equação do total

Agora que C está em função de S, substituímos na equação C + S = 352 para ficar com uma equação só com S. Isso permite achar o valor de S.

Por que esta fórmula: Substituição direta: onde havia C, colocamos (4/7)S. A equação vira (4/7)S + S = 352.

De onde vem cada valor: $S$ = passo 3 · $352$ = passo 1

Passo 5 — Resolver a equação para S

Com a equação em uma variável, resolvemos para S. Somamos as frações: (4/7)S + (7/7)S = (11/7)S, então (11/7)S = 352. Multiplicando ambos os lados por 7/11, obtemos S.

Por que esta fórmula: Para isolar S, multiplicamos ambos os lados pelo inverso de 11/7, que é 7/11.

De onde vem cada valor: $352$ = passo 1 · $7/11$ = constante: inverso de 11/7, obtido da soma das frações

Passo 6 — Calcular C usando a razão

Com S conhecido, voltamos à razão para achar C. Usamos C = (4/7)S, substituindo S = 224.

Por que esta fórmula: A relação C = (4/7)S vem do passo 3; agora é só substituir o valor de S.

De onde vem cada valor: $4/7$ = enunciado: razão · $224$ = passo 5

Resposta: 128 ligações de cobrança — alternativa B