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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2025

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
vu219307
Banca
VUNESP
Órgão
Faculdade Belavista
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
No próximo ano, todas as turmas de ensino médio de uma escola ficarão em um mesmo piso do prédio principal, em 8 salas distintas, todas com as mesmas dimensões, sendo que 4 salas têm janelas voltadas para o pátio e 4 salas têm janelas voltadas para as quadras esportivas. Serão formadas 4 turmas de 1º ano (A, B, C e D), 2 turmas de 2º ano (A e B) e 2 turmas de 3o ano (A e B). O número de maneiras distintas de distribuir essas turmas nas salas, de modo que as turmas de 1o ano fiquem ou todas nas salas com janelas voltadas para as quadras esportivas ou todas nas salas com janelas voltadas para o pátio é
  1. A48.
  2. B256.
  3. C864.
  4. D1 152.
  5. E1 680.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 1 152.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 1.152 maneiras — alternativa D.

A ideia por trás

A análise combinatória é a parte da matemática que conta possibilidades sem precisar listá-las. O princípio fundamental da contagem diz: se uma escolha tem n opções e, depois dela, outra tem m opções, o total de combinações é n × m. Quando duas situações não podem acontecer ao mesmo tempo, somamos os totais de cada uma.

Aqui usamos permutações: quando temos objetos distintos e lugares distintos, o número de maneiras de colocá-los é o fatorial do número de objetos (n! = n × (n-1) × ... × 1). Por exemplo, 4 turmas distintas em 4 salas distintas podem ser arrumadas de 4! = 24 maneiras. Se temos dois grupos independentes, multiplicamos as permutações de cada grupo.

A questão tem dois casos possíveis: as turmas de 1º ano vão para o pátio ou para as quadras. Como são casos separados, calculamos cada um e somamos. Dentro de cada caso, distribuímos as turmas de 1º ano nas 4 salas escolhidas e as outras turmas nas 4 salas restantes.

O que a questão dá

  • 8 salas distintas: 4 com janelas para o pátio e 4 para as quadras

  • 4 turmas de 1º ano (A, B, C, D)

  • 2 turmas de 2º ano (A, B)

  • 2 turmas de 3º ano (A, B)

O que queremos: o número de maneiras de distribuir as turmas nas salas, com as turmas de 1º ano todas no pátio ou todas nas quadras

Passo 1 — Calcular as permutações das turmas de 1º ano

Primeiro, precisamos saber de quantas maneiras as 4 turmas de 1º ano (A, B, C, D) podem ocupar as 4 salas escolhidas. Como cada turma é diferente e cada sala é diferente, cada arranjo é uma permutação.

Por que esta fórmula: A permutação de n elementos distintos é n!, porque para a primeira sala temos n opções, para a segunda n-1, e assim por diante.

P4=4!P_4 = 4!

De onde vem cada valor: 44 = enunciado: 4 turmas de 1º ano

P4=4×3×2×1=24 maneirasP_4 = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = \boxed{24\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Tratar as turmas de 1º ano como idênticas, o que daria apenas 1 maneira em vez de 24.

Passo 2 — Calcular as permutações das outras turmas

Depois de colocar as turmas de 1º ano, sobram 4 salas e 4 turmas (2 de 2º ano e 2 de 3º ano). Elas também são distintas, então precisamos permutá-las.

Por que esta fórmula: Mesma lógica: 4 turmas distintas em 4 salas distintas, então 4!.

P4=4!P_4 = 4!

De onde vem cada valor: 44 = enunciado: 2 turmas de 2º ano + 2 turmas de 3º ano

P4=4×3×2×1=24 maneirasP_4 = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = \boxed{24\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que as turmas de 2º e 3º ano também são distintas entre si.

Passo 3 — Multiplicar as permutações de um cenário

Em um cenário (por exemplo, 1º ano no pátio), as escolhas das salas para o 1º ano e para as outras turmas são independentes, então multiplicamos as quantidades.

Por que esta fórmula: Pelo princípio multiplicativo: se uma etapa tem 24 maneiras e a outra tem 24, o total é 24 × 24.

totalcenario=P4×P4total_{cenario} = P_4 \times P_4

De onde vem cada valor: P4P_4 = passo 2: 24

totalcenario=24×24=576 maneirastotal_{cenario} = 24 \times 24 = \boxed{576\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar em vez de multiplicar, o que daria 48.

Passo 4 — Somar os dois cenários possíveis

As turmas de 1º ano podem ficar no pátio OU nas quadras. São duas situações que não acontecem juntas, então somamos os totais de cada uma.

Por que esta fórmula: Pelo princípio aditivo: quando temos opções mutuamente exclusivas, somamos.

total=totalcenario+totalcenariototal = total_{cenario} + total_{cenario}

De onde vem cada valor: totalcenariototal_{cenario} = passo 3: 576 (para o cenário quadras)

total=576+576=1152 maneirastotal = 576 + 576 = \boxed{1152\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de considerar os dois cenários e responder apenas 576.

Resposta: 1.152 maneiras — alternativa D

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