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Questão de Matemática — Frações e Dízimas Periódicas — VUNESP 2025

MatemáticaFrações e Dízimas Periódicas
Código
vu219309
Banca
VUNESP
Órgão
Faculdade Belavista
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
Em um estacionamento, a razão entre o número de vagas especiais e o número de vagas comuns é igual a 150\frac{1}{50}. Se 72 vagas comuns forem alteradas para vagas especiais, a razão indicada passará a ser igual a 114\frac{1}{14}. Nesse estacionamento, a soma do número de vagas comuns com o número de vagas especiais é igual a
  1. A1 020.
  2. B1 275.
  3. C1 530.
  4. D1 785.
  5. E2 040.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 1 530.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 1530 vagas — alternativa C.

A ideia por trás

Razão é uma comparação entre duas grandezas por meio de uma divisão. Quando dizemos que a razão entre o número de vagas especiais (E) e o número de vagas comuns (C) é 1/50, estamos afirmando que, para cada vaga especial, existem 50 vagas comuns. Matematicamente, isso se escreve como E/C = 1/50. Essa igualdade entre duas frações é o que chamamos de proporção.

A partir de uma proporção, podemos montar equações que relacionam as duas quantidades. Por exemplo, E/C = 1/50 implica que 50E = C. Quando uma quantidade é transferida de uma categoria para outra, ambas as grandezas mudam: uma aumenta e a outra diminui na mesma quantidade. Isso é essencial para montar a segunda equação.

Esta questão fornece duas razões em momentos diferentes: a inicial e a após a transferência de 72 vagas. Com essas duas informações, montamos um sistema de duas equações com duas incógnitas (E e C), que resolvemos para encontrar os valores e, por fim, a soma.

O que a questão dá

  • razão inicial entre especiais e comuns = 1/50

  • 72 vagas comuns alteradas para especiais

  • nova razão entre especiais e comuns = 1/14

O que queremos: a soma do número de vagas comuns com o número de vagas especiais

Passo 1 — Montar a equação da razão inicial

A primeira informação do enunciado é a razão entre especiais e comuns antes de qualquer alteração. Precisamos transformar essa razão em uma equação que relacione as duas quantidades, para podermos usar depois.

Por que esta fórmula: A razão E/C = 1/50 significa que E está para C assim como 1 está para 50. Multiplicando em cruz, obtemos 50E = C, que é uma equação linear simples.

EC=150⇒50E=C\frac{E}{C} = \frac{1}{50} \Rightarrow 50E = C

De onde vem cada valor: EE = definição: número de vagas especiais (incógnita) · CC = definição: número de vagas comuns (incógnita)

C=50 EC = \boxed{50\ \text{E}}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a razão, escrevendo C/E = 1/50, o que levaria a C = E/50 e a valores trocados.

Passo 2 — Montar a equação após a alteração

Depois que 72 vagas comuns viram especiais, o número de especiais aumenta em 72 e o de comuns diminui em 72. A nova razão é 1/14, então precisamos expressar essa nova situação em uma equação.

Por que esta fórmula: A nova razão é (E+72)/(C-72) = 1/14. Multiplicando em cruz, obtemos 14(E+72) = C-72. Essa equação captura a transferência de vagas.

E+72C−72=114⇒14(E+72)=C−72\frac{E+72}{C-72} = \frac{1}{14} \Rightarrow 14(E+72) = C-72

De onde vem cada valor: E+72E+72 = definição: especiais aumentam em 72 · C−72C-72 = definição: comuns diminuem em 72 · 1/141/14 = enunciado: nova razão

14(E+72)=C−7214(E+72) = \boxed{\text{C}-72}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair 72 das comuns, montando (E+72)/C = 1/14, o que leva a um sistema incorreto.

Passo 3 — Substituir C na segunda equação

Temos duas equações com duas incógnitas. Para resolver, substituímos a expressão de C da primeira equação na segunda, transformando-a em uma equação só com E.

Por que esta fórmula: Da primeira equação, C = 50E. Colocamos isso no lugar de C na segunda equação: 14(E+72) = 50E - 72.

14(E+72)=50E−7214(E+72) = 50E - 72

De onde vem cada valor: 14(E+72)14(E+72) = passo 2 · 50E50E = passo 1: C = 50E

14(E+72)=50E−7214(E+72) = 50E - 72
NÃO CAIA NESSA!

Errar a distributiva: 14(E+72) = 14E + 1008, não 14E + 72.

Passo 4 — Resolver a equação para E

Agora temos uma equação do primeiro grau com uma incógnita. Precisamos isolar E para descobrir quantas vagas especiais existem.

Por que esta fórmula: Expandimos e isolamos E: 14E + 1008 = 50E - 72. Passamos os termos com E para um lado e os números para o outro.

14E+1008=50E−72⇒1080=36E⇒E=3014E + 1008 = 50E - 72 \Rightarrow 1080 = 36E \Rightarrow E = 30

De onde vem cada valor: 14E14E = passo 3 · 10081008 = constante: 14 × 72 · 50E50E = passo 3 · 7272 = passo 3

14E+1008=50E−72⇒1008+72=50E−14E⇒1080=36E⇒E=3014E + 1008 = 50E - 72 \Rightarrow 1008 + 72 = 50E - 14E \Rightarrow 1080 = 36E \Rightarrow E = 30
E=30E = \boxed{30}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma 1008 + 72 = 1080, ou a subtração 50E - 14E = 36E.

Passo 5 — Calcular o número de vagas comuns

Com o valor de E, voltamos à primeira equação para encontrar C, pois precisamos dos dois para a soma final.

Por que esta fórmula: Usamos C = 50E, que veio da razão inicial.

C=50×EC = 50 \times E

De onde vem cada valor: 5050 = passo 1 · EE = passo 4: 30

C=50×30C = 50 \times 30
C=1500C = \boxed{1500}
NÃO CAIA NESSA!

Usar E = 30 na equação errada, como C = 14E, o que daria 420.

Passo 6 — Somar as vagas especiais e comuns

A pergunta pede a soma total de vagas. Com E e C conhecidos, basta somar.

Por que esta fórmula: A soma é simplesmente E + C.

Total=E+CTotal = E + C

De onde vem cada valor: EE = passo 4: 30 · CC = passo 5: 1500

Total=30+1500=1530 vagasTotal = 30 + 1500 = \boxed{1530\ \text{vagas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar e responder apenas 1500, ou somar errado.

Resposta: 1530 vagas — alternativa C

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