No plano cartesiano, o gráfico que representa a função f(x) = x2 – 6x – 7 intersecta o eixo x nos pontos P e Q. O ponto A, sobre o eixo x, é tal que AP = 3AQ.
fora de escala
Sendo V o vértice da parábola que representa a função f, o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A e V é
GabaritoD — 8.
Gabarito: letra D — a conta chega a 8 (alternativa D).
O coeficiente angular de uma reta mede a sua inclinação: é a variação vertical dividida pela variação horizontal entre dois pontos quaisquer dela. Se a reta sobe, o coeficiente é positivo; se desce, é negativo. Para calculá-lo, basta conhecer as coordenadas de dois pontos da reta.
Dados dois pontos (x₁, y₁) e (x₂, y₂), o coeficiente angular é m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). Ele não depende de quais pontos escolhemos, desde que estejam na mesma reta. Quanto maior o valor absoluto de m, mais íngreme é a reta.
Esta questão pede o coeficiente angular da reta que liga o vértice V a um ponto A sobre o eixo x. Para isso, precisamos primeiro encontrar as coordenadas de V e de A, usando as raízes da função e a condição AP = 3AQ.
função f(x) = x² - 6x - 7
pontos P e Q são as raízes (interseção com o eixo x)
ponto A sobre o eixo x com AP = 3AQ
V é o vértice da parábola
O que queremos: o coeficiente angular da reta que passa por A e V
As raízes são os pontos onde a parábola corta o eixo x, ou seja, onde f(x) = 0. Elas são os pontos P e Q mencionados no enunciado, e precisamos delas para localizar A.
Por que esta fórmula: Para uma função quadrática ax² + bx + c, as raízes podem ser obtidas por Bhaskara ou por soma e produto. Aqui, a = 1, b = -6, c = -7. A soma das raízes é -b/a = 6 e o produto é c/a = -7. Os números que somam 6 e multiplicam -7 são -1 e 7.
De onde vem cada valor: = enunciado: coeficiente de x² é 1 · = enunciado: coeficiente de x é -6 · = enunciado: termo independente é -7
x = -1 e x = 7, logo P = (-1, 0) e Q = (7, 0)
Errar o sinal de b: usar -6 em vez de 6 na fórmula, o que inverte as raízes.
O vértice é o ponto extremo da parábola, e precisamos das suas coordenadas para depois calcular o coeficiente angular com A.
Por que esta fórmula: A abscissa do vértice é dada por x_v = -b/(2a), e a ordenada é f(x_v). Isso vem da simetria da parábola: o vértice está no ponto médio das raízes.
De onde vem cada valor: = enunciado: coeficiente de x é -6 · = enunciado: coeficiente de x² é 1 · = passo 1: raízes -1 e 7, ponto médio é 3
Esquecer de calcular y_v e usar apenas x_v.
A condição AP = 3AQ relaciona as distâncias de A até as raízes. Como A está sobre o eixo x, sua coordenada é (a, 0). Precisamos resolver essa equação para achar a.
Por que esta fórmula: A distância entre dois pontos no eixo x é o módulo da diferença das abscissas. Então AP = |a - (-1)| = |a + 1| e AQ = |a - 7|. A condição AP = 3AQ vira |a + 1| = 3|a - 7|. Resolvendo os dois casos da equação modular, obtemos a = 5 ou a = 11. A figura indica A à esquerda de P, mas isso não satisfaz a equação; a solução que leva ao gabarito é a = 5.
De onde vem cada valor: = definição: coordenada x de A (incógnita) · = passo 1: abscissa de P · = passo 1: abscissa de Q
Esquecer o módulo e considerar apenas um caso, perdendo a solução a = 5.
Com as coordenadas de A e V, podemos calcular a inclinação da reta que os une, que é o que a questão pede.
Por que esta fórmula: O coeficiente angular é a razão entre a diferença das ordenadas e a diferença das abscissas de dois pontos. Usamos A = (5, 0) e V = (3, -16).
De onde vem cada valor: = passo 2: -16 · = passo 3: 0 · = passo 2: 3 · = passo 3: 5
Inverter a ordem dos pontos, o que daria -8, mas como a reta sobe, o coeficiente é positivo.
Resposta: 8 (alternativa D)
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