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Questão de Matemática — Progressão Aritmética — VUNESP 2025

MatemáticaProgressão Aritmética
Código
vu219311
Banca
VUNESP
Órgão
Faculdade Belavista
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
Dois carrinhos foram lançados simultaneamente partindo da extremidade de uma pista retilínea. O carrinho branco percorreu 10 cm a cada segundo e o carrinho verde percorreu 1 cm no primeiro segundo, 4 cm no segundo seguinte e, a cada segundo, percorreu 3 cm a mais do que havia percorrido no segundo anterior. Quando o carrinho verde percorreu todo o comprimento da pista, o carrinho branco ainda precisava percorrer 12 cm. O comprimento dessa pista é igual a
  1. A92 cm.
  2. B108 cm.
  3. C112 cm.
  4. D118 cm.
  5. E122 cm.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 92 cm.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 92 cm — alternativa A.

A ideia por trás

Uma progressão aritmética é uma sequência de números em que cada termo é o anterior somado a uma constante, chamada razão. Aqui, as distâncias percorridas pelo carrinho verde a cada segundo formam uma PA: 1, 4, 7, 10, ... — a razão é 3. A soma dos primeiros n termos dessa PA dá a distância total percorrida pelo verde em n segundos.

O termo geral de uma PA é a_n = a_1 + (n-1)r, e a soma dos n primeiros termos é S_n = (a_1 + a_n)n/2. A soma cresce com o quadrado do número de termos, porque cada termo é maior que o anterior. Já o carrinho branco tem movimento uniforme: distância = velocidade × tempo, então em t segundos ele percorre 10t cm.

Esta questão pede para igualar a distância percorrida pelo verde (soma da PA) com a distância percorrida pelo branco mais 12 cm, pois o branco ainda não terminou. O tempo t é o mesmo para os dois, então montamos uma equação em t.

O que a questão dá

  • carrinho branco: 10 cm por segundo

  • carrinho verde: 1 cm no 1º segundo, 4 cm no 2º, sempre 3 cm a mais a cada segundo

  • quando o verde termina a pista, o branco ainda tem 12 cm para percorrer

O que queremos: o comprimento da pista

Passo 1 — Escrever a distância do verde em função do tempo

Precisamos de uma expressão para a distância total percorrida pelo verde em t segundos. Como as distâncias por segundo formam uma PA, a distância total é a soma dos t primeiros termos dessa PA.

Por que esta fórmula: A soma dos n primeiros termos de uma PA é S_n = (a_1 + a_n)n/2. Aqui, a_1 = 1 e a_n = 1 + (n-1)·3 = 3n - 2. Substituindo, obtemos a fórmula da soma.

St=(1+(3t−2))⋅t2=(3t−1)⋅t2S_t = \frac{(1 + (3t - 2)) \cdot t}{2} = \frac{(3t - 1) \cdot t}{2}

De onde vem cada valor: 11 = enunciado: primeiro termo da PA · 3t−23t - 2 = definição: termo geral da PA, a_n = a_1 + (n-1)r · tt = definição: número de segundos (e de termos)

St=(3t−1)⋅t2S_t = \frac{(3t - 1) \cdot t}{2}
St=3t2−t2S_t = \boxed{\frac{3t^{2} - t}{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2 na soma da PA, ou usar o termo geral errado (por exemplo, 3t+1).

Passo 2 — Escrever a distância do branco em função do tempo

O carrinho branco tem movimento uniforme, então sua distância percorrida em t segundos é simples: velocidade × tempo. Mas ele ainda não terminou a pista: faltam 12 cm. Então a distância que ele percorreu é o comprimento da pista menos 12 cm.

Por que esta fórmula: Movimento uniforme: distância = velocidade × tempo. A velocidade é 10 cm/s, então em t segundos ele percorre 10t cm. Como ele ainda tem 12 cm para percorrer, o comprimento total L é 10t + 12.

L=10t+12L = 10t + 12

De onde vem cada valor: 1010 = enunciado: velocidade do branco em cm/s · tt = definição: tempo em segundos · 1212 = enunciado: distância que falta ao branco

L=10⋅t+12L = 10 \cdot t + 12
L=10 t+12L = \boxed{10\ \text{t} + 12}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer os 12 cm e escrever L = 10t, o que daria resposta errada.

Passo 3 — Igualar as duas distâncias ao comprimento da pista

No instante em que o verde termina a pista, a distância que ele percorreu é exatamente o comprimento L. O branco, no mesmo instante, percorreu L - 12, então L = 10t + 12. Igualando as duas expressões para L, obtemos uma equação em t.

Por que esta fórmula: Como ambas as expressões representam o mesmo comprimento L, podemos igualá-las: soma da PA = 10t + 12.

3t2−t2=10t+12\frac{3t^{2} - t}{2} = 10t + 12

De onde vem cada valor: 3t2−t2\frac{3t^{2} - t}{2} = passo 1: distância do verde · 10t+1210t + 12 = passo 2: distância do branco + 12

3t2−t2=10t+12\frac{3t^{2} - t}{2} = 10t + 12
3t2−t=20 t+243t^{2} - t = \boxed{20\ \text{t} + 24}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar apenas um lado por 2, ou errar o sinal ao passar termos.

Passo 4 — Resolver a equação do segundo grau

A equação resultante é uma quadrática. Precisamos encontrar o valor de t que satisfaz a igualdade. Como o tempo não pode ser negativo, descartamos a raiz negativa.

Por que esta fórmula: A equação 3t² - 21t - 24 = 0 pode ser simplificada dividindo por 3, resultando em t² - 7t - 8 = 0. Usamos a fórmula de Bhaskara: t = (-b ± √Δ)/(2a), com Δ = b² - 4ac.

t=7±812t = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2}

De onde vem cada valor: 77 = passo 3: coeficiente b da equação t² - 7t - 8 = 0 · 8181 = passo 3: discriminante Δ = b² - 4ac = 49 + 32 = 81

t=7±812=7±92t = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{7 \pm 9}{2}

t = 8 s (descartando t = -1)

NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal de c, ou esquecer de dividir por 2a.

Passo 5 — Calcular o comprimento da pista

Com o tempo t = 8 s, podemos substituir na expressão do passo 2 para achar L. Essa é a distância total que o verde percorreu, que é o comprimento da pista.

Por que esta fórmula: Usamos L = 10t + 12, que relaciona o comprimento com o tempo e a distância que falta ao branco.

L=10⋅8+12L = 10 \cdot 8 + 12

De onde vem cada valor: 1010 = enunciado: velocidade do branco · 88 = passo 4: tempo em segundos · 1212 = enunciado: distância que falta ao branco

L=80+12=92 cmL = 80 + 12 = \boxed{92\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar t = -1 ou errar a conta 10·8+12.

Resposta: 92 cm — alternativa A

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