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Questão de Matemática — Sistemas Lineares — VUNESP 2025

MatemáticaSistemas Lineares
Código
vu219312
Banca
VUNESP
Órgão
Faculdade Belavista
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
Um campeonato de xadrez foi disputado em um local com certo número de salas, em duas etapas. Na primeira etapa, todas as salas foram usadas, sendo que 3 das salas ficaram com 8 tabuleiros por sala e as demais, com 11 tabuleiros por sala. Na segunda etapa, uma sala ficou vazia, cinco salas ficaram com 9 tabuleiros por sala e as demais, com 12 tabuleiros por sala. A organização do torneio levou o número exato de tabuleiros necessários para que todos jogassem ao mesmo tempo em cada etapa, ou seja, levou um número de tabuleiros igual a metade do número de participantes. O número de participantes do campeonato foi de
  1. A360.
  2. B378.
  3. C396.
  4. D414.
  5. E432.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 378.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 378 participantes — alternativa B.

A ideia por trás

Um sistema linear é um conjunto de equações que compartilham as mesmas incógnitas; a solução é o valor que satisfaz todas ao mesmo tempo. Aqui, as incógnitas são o número de salas e o número de participantes, e cada etapa do campeonato fornece uma equação independente.

Cada equação expressa o total de tabuleiros de uma etapa em função do número de salas. Como o número de participantes não muda, o total de tabuleiros é o mesmo nas duas etapas, o que permite igualar as duas expressões e resolver para o número de salas. Depois, o total de tabuleiros é metade do número de participantes, então basta dobrar.

Esta questão cobra a modelagem de um problema real em um sistema linear: traduzir as duas descrições de distribuição de tabuleiros em equações e usar a igualdade entre elas para achar o número de salas.

O que a questão dá

  • primeira etapa: 3 salas com 8 tabuleiros, demais com 11

  • segunda etapa: 1 sala vazia, 5 salas com 9 tabuleiros, demais com 12

  • total de tabuleiros = metade do número de participantes

O que queremos: o número de participantes do campeonato

Passo 1 — Definir as incógnitas

Antes de montar qualquer equação, precisamos nomear o que não sabemos: o número de salas e o número de participantes. Essas serão as variáveis do sistema.

NÃO CAIA NESSA!

Não definir as variáveis claramente e se perder na hora de montar as expressões.

Passo 2 — Montar a expressão da primeira etapa

A primeira etapa descreve como os tabuleiros foram distribuídos: 3 salas com 8 e as demais com 11. Precisamos transformar essa descrição em uma expressão algébrica para o total de tabuleiros.

Por que esta fórmula: O total é a soma dos tabuleiros das salas com 8 (3 × 8) mais os das salas com 11 (11 × (s - 3)).

T1=3⋅8+(s−3)⋅11T_1 = 3 \cdot 8 + (s - 3) \cdot 11

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: 3 salas com 8 tabuleiros · 88 = enunciado: 8 tabuleiros por sala · s−3s - 3 = enunciado: as demais salas (total menos as 3) · 1111 = enunciado: 11 tabuleiros por sala

T1=3⋅8+(s−3)⋅11T_1 = 3 \cdot 8 + (s - 3) \cdot 11
T1=11 s−9T_1 = \boxed{11\ \text{s} - 9}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair as 3 salas ao contar as 'demais', usando s em vez de s - 3.

Passo 3 — Montar a expressão da segunda etapa

A segunda etapa tem uma distribuição diferente: uma sala vazia, cinco com 9 e as demais com 12. Precisamos de outra expressão para o total de tabuleiros, agora considerando que o número de salas usadas é s - 1.

Por que esta fórmula: O total é a soma dos tabuleiros das 5 salas com 9 (5 × 9) mais os das salas restantes (12 × (s - 6)), pois s - 1 - 5 = s - 6.

T2=5⋅9+(s−6)⋅12T_2 = 5 \cdot 9 + (s - 6) \cdot 12

De onde vem cada valor: 55 = enunciado: 5 salas com 9 tabuleiros · 99 = enunciado: 9 tabuleiros por sala · s−6s - 6 = enunciado: as demais salas (s - 1 usadas, menos as 5) · 1212 = enunciado: 12 tabuleiros por sala

T2=5⋅9+(s−6)⋅12T_2 = 5 \cdot 9 + (s - 6) \cdot 12
T2=12 s−27T_2 = \boxed{12\ \text{s} - 27}
NÃO CAIA NESSA!

Usar s em vez de s - 1 para o número de salas usadas, ou esquecer de subtrair as 5 salas específicas.

Passo 4 — Igualar os totais das duas etapas

Como o número de participantes é o mesmo, o total de tabuleiros necessário é igual nas duas etapas. Isso nos dá uma equação para achar s.

Por que esta fórmula: Igualamos T_1 e T_2 porque representam a mesma quantidade (total de tabuleiros).

11s−9=12s−2711s - 9 = 12s - 27

De onde vem cada valor: 11s−911s - 9 = passo 2 · 12s−2712s - 27 = passo 3

11s−9=12s−2711s - 9 = 12s - 27
s=18s = \boxed{18}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao mover os termos: -9 + 27 = 12s - 11s, e não o contrário.

Passo 5 — Calcular o total de tabuleiros

Com o número de salas conhecido, podemos calcular o total de tabuleiros de qualquer etapa, que é o mesmo.

Por que esta fórmula: Usamos a expressão da primeira etapa, já que é a mais simples.

T=11⋅18−9T = 11 \cdot 18 - 9

De onde vem cada valor: 1111 = passo 2 · 1818 = passo 4 · 99 = passo 2

T=11⋅18−9=189 tabuleirosT = 11 \cdot 18 - 9 = \boxed{189\ \text{tabuleiros}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a expressão da segunda etapa sem substituir corretamente, ou errar a conta 11 × 18.

Passo 6 — Obter o número de participantes

O problema diz que o número de tabuleiros é metade do número de participantes. Com o total de tabuleiros, podemos achar p.

Por que esta fórmula: Se T = p/2, então p = 2T.

p=2⋅Tp = 2 \cdot T

De onde vem cada valor: TT = passo 5: 189 · 22 = enunciado: tabuleiros = metade dos participantes

p=2⋅189=378 participantesp = 2 \cdot 189 = \boxed{378\ \text{participantes}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir por 2 em vez de multiplicar, obtendo 94,5.

Resposta: 378 participantes — alternativa B

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