Questão de Matemática — Equações Logarítmicas — VUNESP 2025

Equações logarítmicas aplicadas a problemas de escoamento

Gabarito: letra A — o tempo necessário é de 6 horas e 40 minutos. A cada hora escoa 12% do volume, então o volume restante após $t$ horas é dado por $V(t) = 10 \cdot (0,88)^t$. Igualando a 4 litros e aplicando logaritmos, obtemos $t = \frac{\log 2,5}{\log 0,88}$, que com os valores fornecidos resulta em $t = 6,67$ horas, ou seja, 6 horas e 40 minutos.

A ideia por trás

Este problema combina dois conceitos: a função exponencial para modelar a redução percentual do volume e os logaritmos para isolar a variável no expoente. Quando uma quantidade diminui a uma taxa percentual constante por unidade de tempo, ela segue um decaimento exponencial. Aqui, a cada hora o volume é multiplicado por $1 - 0,12 = 0,88$ (fator de permanência).

A fórmula geral é $V(t) = V_0 \cdot (1 - i)^t$, onde $V_0$ é o volume inicial, $i$ é a taxa de escoamento e $t$ é o tempo. Para encontrar $t$, aplicamos logaritmo nos dois lados da equação, usando a propriedade $\log(a^b) = b \cdot \log(a)$.

Vamos resolver passo a passo:

1. Montar a equação: $4 = 10 \cdot (0,88)^t$

2. Isolar a potência: $0,88^t = \frac{4}{10} = 0,4$

3. Aplicar logaritmo: $\log(0,88^t) = \log(0,4)$ → $t \cdot \log(0,88) = \log(0,4)$

4. Isolar $t$: $t = \frac{\log(0,4)}{\log(0,88)}$

Agora precisamos calcular esses logaritmos usando os dados fornecidos: $\log_{10} 2 = 0,3$ e $\log_{10} 11 = 1,04$.

• $\log(0,4) = \log\left(\frac{4}{10}\right) = \log(4) - \log(10) = \log(2^2) - 1 = 2 \cdot 0,3 - 1 = 0,6 - 1 = -0,4$

• $\log(0,88) = \log\left(\frac{88}{100}\right) = \log(88) - \log(100) = \log(8 \cdot 11) - 2 = \log(2^3) + \log(11) - 2 = 3 \cdot 0,3 + 1,04 - 2 = 0,9 + 1,04 - 2 = -0,06$

Substituindo:

$t = \frac{-0,4}{-0,06} = \frac{0,4}{0,06} = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} \approx 6,67$ horas

Convertendo $0,67$ horas em minutos: $0,67 \times 60 = 40,2$ minutos, aproximadamente 40 minutos. Portanto, $t = 6$ horas e $40$ minutos.

A pegadinha

A banca fornece os logaritmos de 2 e 11, mas o candidato precisa decompor os números 0,4 e 0,88 em fatores que usem esses valores. Quem não percebe que $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2^2}{10}$ e $0,88 = \frac{88}{100} = \frac{8 \cdot 11}{100} = \frac{2^3 \cdot 11}{100}$ trava na resolução. Outra armadilha comum é errar a conversão de horas decimais para horas e minutos: $0,67$ horas não é 67 minutos, mas sim $0,67 \times 60 = 40$ minutos.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O cálculo completo confirma: $t = \frac{20}{3}$ horas = 6 horas e 40 minutos. A decomposição dos logaritmos está correta e a conversão de tempo foi feita adequadamente.

Alternativa B — ❌ Incorreta

6 horas e 12 minutos correspondem a 6,2 horas. Esse valor seria obtido se o candidato errasse a conversão de $0,67$ horas, tratando $0,67$ como 67 minutos e depois subtraindo 27 minutos (ou outro erro de arredondamento). O cálculo correto dá 6,67 horas, não 6,2 horas.

Alternativa C — ❌ Incorreta

6 horas exatas seria o resultado se $t$ fosse exatamente 6, mas $t = 6,67$ horas. O candidato que arredonda $\frac{20}{3}$ para 6 (em vez de 6,67) cai nessa alternativa. A fração $\frac{20}{3}$ é maior que 6, então o tempo é superior a 6 horas.

Alternativa D — ❌ Incorreta

5 horas e 40 minutos (5,67 horas) seria o resultado se o candidato errasse o sinal ou a decomposição dos logaritmos, obtendo um valor menor. Por exemplo, se $\log(0,88)$ fosse calculado como $-0,06$ e $\log(0,4)$ como $-0,34$ (erro de cálculo), o resultado seria aproximadamente 5,67. O valor correto é 6,67 horas.

Alternativa E — ❌ Incorreta

5 horas exatas seria o resultado se o candidato ignorasse a parte fracionária ou cometesse um erro grosseiro de cálculo. O tempo correto é 6 horas e 40 minutos, não 5 horas.

Gabarito: letra A