Questão de Matemática — Porcentagem — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a x = 20 — alternativa E.

A ideia por trás

Porcentagem é uma forma de expressar uma parte de um todo, usando como base 100. Quando dizemos 'desconto de x%', significa que tiramos x de cada 100 do valor original; quando dizemos 'aumento de x%', adicionamos x de cada 100. Para aplicar isso na prática, multiplicamos o valor original por um fator: (1 - x/100) para desconto e (1 + x/100) para aumento.

A relação central é que, após uma variação percentual, o novo valor é o original vezes o fator correspondente. Se o preço sofre um desconto de x%, o fator é (1 - x/100); se sofre um aumento, o fator é (1 + x/100). Quando temos duas variações em valores diferentes, montamos uma equação que iguala as relações finais. A condição de validade é que o preço original seja positivo, o que sempre ocorre em problemas de comércio.

Esta questão pede para relacionar dois preços que mudam por porcentagens iguais, mas em sentidos opostos. O desafio é montar a equação corretamente, usando os fatores de variação, e depois resolver algebricamente para achar x.

O que a questão dá

• preço na loja A = 3 × preço na loja B

• desconto de x% na loja A

• aumento de x% na loja B

• novo preço de A = 2 × novo preço de B

O que queremos: o valor de x, em porcentagem

Passo 1 — Definir os preços iniciais

Para comparar os preços depois dos reajustes, precisamos de uma base comum. Como o preço de A é o triplo do de B, podemos chamar o preço de B de P e o de A de 3P. Isso transforma a relação em algo concreto para trabalhar.

Passo 2 — Aplicar o desconto na loja A

O desconto de x% reduz o preço de A. Para calcular o novo preço, multiplicamos o preço original pelo fator (1 - x/100). Isso é a aplicação direta da definição de porcentagem.

Por que esta fórmula: Desconto de x% significa que o preço final é (100 - x)% do original, ou seja, (1 - x/100) vezes o original.

De onde vem cada valor: $3P$ = passo 1: preço inicial de A · $x$ = enunciado: desconto de x%

Passo 3 — Aplicar o aumento na loja B

O aumento de x% eleva o preço de B. Multiplicamos o preço original pelo fator (1 + x/100), pois o preço final é (100 + x)% do original.

Por que esta fórmula: Aumento de x% significa que o preço final é (100 + x)% do original, ou seja, (1 + x/100) vezes o original.

De onde vem cada valor: $P$ = passo 1: preço inicial de B · $x$ = enunciado: aumento de x%

Passo 4 — Montar a equação da relação final

O enunciado diz que o novo preço de A é o dobro do novo preço de B. Isso nos dá uma igualdade entre as expressões dos passos 2 e 3, que é a chave para encontrar x.

Por que esta fórmula: A condição 'novo preço de A = 2 × novo preço de B' é traduzida diretamente em equação.

De onde vem cada valor: $3P \times \left(1 - \frac{x}{100}\right)$ = passo 2: novo preço de A · $2 \times P \times \left(1 + \frac{x}{100}\right)$ = passo 3: dobro do novo preço de B

Passo 5 — Simplificar a equação dividindo por P

Como P é o preço de B e é diferente de zero (não existe preço negativo ou nulo), podemos dividir ambos os lados por P. Isso elimina a incógnita P e deixa a equação apenas com x.

Por que esta fórmula: Dividir ambos os lados de uma equação por um mesmo número não nulo mantém a igualdade.

De onde vem cada valor: $3$ = passo 4: coeficiente de P no lado esquerdo · $2$ = passo 4: coeficiente de P no lado direito

Passo 6 — Expandir e isolar x

Agora temos uma equação linear em x. Precisamos distribuir as multiplicações e juntar os termos com x de um lado e as constantes do outro, para então resolver.

Por que esta fórmula: Distributiva: a(b + c) = ab + ac. Depois, isolamos x movendo termos.

De onde vem cada valor: $3$ = passo 5: 3 × 1 · $-\frac{3x}{100}$ = passo 5: 3 × (-x/100) · $2$ = passo 5: 2 × 1 · $\frac{2x}{100}$ = passo 5: 2 × (x/100)

Passo 7 — Resolver a equação para x

Com a equação simplificada, basta fazer as operações algébricas para achar o valor de x. Subtraímos 2 dos dois lados, somamos 3x/100 dos dois lados e depois multiplicamos por 100.

Por que esta fórmula: Operações inversas: subtrair 2, somar 3x/100, depois multiplicar por 100 para eliminar o denominador.

De onde vem cada valor: $1$ = passo 6: 3 - 2 · $\frac{5x}{100}$ = passo 6: $\frac{2x}{100}$ + $\frac{3x}{100}$

Passo 8 — Multiplicar por 100 e achar x

Para tirar o denominador 100, multiplicamos ambos os lados por 100. Isso nos dá 100 = 5x, e dividindo por 5 obtemos x = 20.

Por que esta fórmula: Multiplicar ambos os lados por 100 elimina a fração; depois dividir por 5 isola x.

De onde vem cada valor: $100$ = passo 7: 1 × 100 · $5$ = passo 7: denominador da fração

Resposta: x = 20 — alternativa E