Questão de Matemática — Sistemas Lineares — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 26 — alternativa B.

A ideia por trás

Um sistema linear é um conjunto de equações do primeiro grau que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. A solução é a lista de valores que satisfaz todas as equações. Aqui, os sistemas não são independentes: o valor de J sai do primeiro, alimenta o segundo, e o valor de K sai do segundo, alimenta o terceiro — é uma resolução em cadeia.

Para resolver um sistema, podemos isolar uma incógnita em uma equação e substituir na outra. Isso reduz o sistema a uma equação com uma só incógnita. O valor encontrado é usado nas próximas equações, encadeando os resultados. A ordem importa: cada sistema depende do anterior.

Esta questão cobra exatamente essa cadeia: resolver o primeiro sistema, usar K no segundo, usar L no terceiro, e só então substituir tudo na expressão final. O erro clássico é tentar resolver cada sistema isoladamente, sem encadear.

O que a questão dá

• sistema 1: J - K = 2 e J + 3K = 10

• sistema 2: K + 5L = 7 e 4K - L = 7

• sistema 3: L + 3M = 10 e 2L - 4M = -10

• expressão final: 2·J + 7·K + 7·L - M

O que queremos: o valor numérico da expressão 2·J + 7·K + 7·L - M

Passo 1 — Resolver o primeiro sistema para J e K

O primeiro sistema define J e K, que serão usados nos próximos. Isolamos J na primeira equação e substituímos na segunda para achar K.

Por que esta fórmula: Da equação J - K = 2, temos J = K + 2. Substituindo em J + 3K = 10, obtemos (K + 2) + 3K = 10, que é uma equação só com K.

De onde vem cada valor: $J$ = enunciado: primeira equação do sistema 1 · $K$ = enunciado: incógnita do sistema 1

Passo 2 — Achar J usando o valor de K

Com K = 2, voltamos à relação J = K + 2 para obter J.

Por que esta fórmula: A relação veio da primeira equação do sistema 1.

De onde vem cada valor: $K$ = passo 1: 2

Passo 3 — Resolver o segundo sistema para L

O segundo sistema usa o K que acabamos de achar. Substituímos K = 2 na primeira equação para achar L.

Por que esta fórmula: A primeira equação K + 5L = 7 fica 2 + 5L = 7, que é uma equação só com L.

De onde vem cada valor: $K$ = passo 1: 2 · $L$ = enunciado: incógnita do sistema 2

Passo 4 — Resolver o terceiro sistema para M

O terceiro sistema usa o L que acabamos de achar. Substituímos L = 1 na primeira equação para achar M.

Por que esta fórmula: A primeira equação L + 3M = 10 fica 1 + 3M = 10, que é uma equação só com M.

De onde vem cada valor: $L$ = passo 3: 1 · $M$ = enunciado: incógnita do sistema 3

Passo 5 — Substituir os valores na expressão final

Agora temos todos os valores: J = 4, K = 2, L = 1, M = 3. Basta substituir na expressão pedida e calcular.

Por que esta fórmula: A expressão é dada no enunciado: 2·J + 7·K + 7·L - M. Substituímos cada letra pelo valor encontrado.

De onde vem cada valor: $J$ = passo 2: 4 · $K$ = passo 1: 2 · $L$ = passo 3: 1 · $M$ = passo 4: 3

Resposta: 26 — alternativa B