Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu219341

Regra de Três Composta: Problemas com Tempo e Trabalho

Gabarito: letra C — a impressora que continuou precisou de 3 horas e 36 minutos para terminar o lote. O raciocínio central é que, com duas impressoras, o lote inteiro leva 3 horas; após 2/5 do trabalho, resta 3/5, que uma única impressora levará o dobro do tempo que as duas levariam para essa fração.

O problema envolve regra de três composta, que relaciona grandezas diretamente proporcionais: número de impressoras, tempo de trabalho e quantidade de folhas impressas. Como as impressoras são idênticas e trabalham com a mesma velocidade, a produção é proporcional ao número de máquinas e ao tempo. A chave é separar o problema em duas etapas: primeiro, o trabalho conjunto das duas impressoras; depois, o trabalho individual da impressora restante.

Vamos definir a capacidade de produção. Se 2 impressoras produzem 1 lote em 3 horas, então a taxa de produção conjunta é de 1 lote por 3 horas, ou seja, $\frac{1}{3}$ do lote por hora. Cada impressora, individualmente, produz metade disso: $\frac{1}{6}$ do lote por hora.

No dia do problema, as duas impressoras trabalharam juntas até completar $\frac{2}{5}$ do lote. O tempo gasto nessa primeira fase é calculado pela razão entre a fração do trabalho e a taxa conjunta:

\text{Tempo da 1ª fase} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{1}{3}} = \frac{2}{5} \times 3 = \frac{6}{5} \text{ horas} = 1,2 \text{ horas} = 1 \text{ hora e } 12 \text{ minutos}

Após esse período, uma impressora quebra. Resta $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ do lote para ser impresso por apenas uma impressora, cuja taxa é de $\frac{1}{6}$ do lote por hora. O tempo necessário para essa segunda fase é:

\text{Tempo da 2ª fase} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{1}{6}} = \frac{3}{5} \times 6 = \frac{18}{5} \text{ horas} = 3,6 \text{ horas} = 3 \text{ horas e } 36 \text{ minutos}

Portanto, o tempo que a impressora que continuou precisou para terminar o lote é de 3 horas e 36 minutos, que corresponde à alternativa C.

A pegadinha desta questão está em não considerar que, após a quebra, a produção cai pela metade. Muitos candidatos podem calcular o tempo total como se as duas impressoras trabalhassem o tempo todo, ou podem errar ao calcular o tempo da segunda fase usando a taxa conjunta em vez da taxa individual. A distinção crucial é: a taxa de produção é proporcional ao número de impressoras ativas.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a taxa de produção conjunta e a individual. O candidato pode calcular o tempo da segunda fase como se as duas impressoras ainda estivessem trabalhando, obtendo $\frac{3}{5} \times 3 = 1,8$ horas (1 hora e 48 minutos), e somar com a primeira fase, resultando em 3 horas — alternativa A. Ou pode usar a taxa individual desde o início, obtendo um tempo total maior que o real. A chave é lembrar que, com uma impressora, o tempo dobra em relação ao que seria com duas.

Impressoras e tempo de trabalho — só Trabalho conjunto: 2/5; só Trabalho individual: 3/5; Trabalho conjunto∩Trabalho individual: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o tempo seria de 3 horas. Esse valor corresponde ao tempo total que as duas impressoras levariam para imprimir o lote inteiro, sem considerar a quebra. Ignora que, após a quebra, a produção cai pela metade, aumentando o tempo necessário para a fração restante.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma 3 horas e 15 minutos. Esse valor não corresponde a nenhum cálculo direto do problema. Pode ser resultado de um erro ao converter a fração de tempo ou ao calcular a taxa de produção individual de forma incorreta.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O cálculo correto: após 2/5 do trabalho, resta 3/5. Com uma impressora, a taxa é de 1/6 do lote por hora. O tempo é $\frac{3/5}{1/6} = 18/5 = 3,6$ horas, ou seja, 3 horas e 36 minutos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma 4 horas. Esse valor seria o tempo que uma única impressora levaria para imprimir o lote inteiro (já que 2 impressoras levam 3 horas, 1 levaria 6 horas, não 4). Não corresponde a nenhuma etapa do problema.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma 4 horas e 12 minutos. Esse valor pode ser obtido se o candidato calcular o tempo total como se a primeira fase fosse feita por uma impressora e a segunda por outra, ou se errar na conversão das frações de tempo.

Gabarito: letra C