Questão de Matemática — Proporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 2 — alternativa C.

A ideia por trás

Razão é uma comparação entre duas grandezas por meio de uma divisão. Quando dizemos que a razão entre mulheres e homens é 4/11, significa que, para cada 4 mulheres, há 11 homens. Essa proporção pode ser representada por uma constante de proporcionalidade: se o número de mulheres é 4k, o número de homens é 11k, onde k é um número real positivo.

A soma das partes é o total: 4k + 11k = 135. A constante k é o fator que escala a razão para o tamanho real da empresa. Depois das contratações, a nova razão é (36 + x)/(99 + 18) = 4/9, onde x é o número de mulheres contratadas. A propriedade fundamental das proporções diz que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, o que permite resolver a equação.

Esta questão cobra a aplicação de razão e proporção em duas etapas: primeiro encontrar a quantidade inicial de homens e mulheres usando a constante de proporcionalidade, depois usar a nova razão para descobrir quantas mulheres serão contratadas.

O que a questão dá

• total de funcionários = 135

• razão inicial mulheres/homens = 4/11

• novos homens contratados = 18

• razão final mulheres/homens = 4/9

O que queremos: a diferença entre o número de homens e mulheres contratados

Passo 1 — Descobrir a constante de proporcionalidade

A razão 4/11 nos diz a proporção entre mulheres e homens, mas não os números reais. Para achar esses números, usamos uma constante k que multiplica ambos os termos da razão, de modo que a soma dê o total de 135 funcionários.

Por que esta fórmula: Se mulheres = 4k e homens = 11k, a soma é 4k + 11k = 15k. Igualando ao total, encontramos k.

De onde vem cada valor: $4k$ = definição: mulheres = 4k · $11k$ = definição: homens = 11k · $135$ = enunciado: total de funcionários

Passo 2 — Calcular o número inicial de mulheres e homens

Com a constante k, multiplicamos cada parte da razão para obter as quantidades reais antes das contratações.

Por que esta fórmula: Substituímos k = 9 nas expressões 4k e 11k.

De onde vem cada valor: $4$ = definição: razão inicial 4/11 · $11$ = definição: razão inicial 4/11 · $k$ = passo 1: 9

Passo 3 — Montar a equação da nova razão

Depois das contratações, o número de mulheres passa a ser 36 + x (onde x é o número de mulheres contratadas) e o de homens passa a ser 99 + 18 = 117. A nova razão deve ser 4/9, então montamos a proporção.

Por que esta fórmula: A razão final é (mulheres)/(homens) = 4/9. Substituímos os valores atualizados.

De onde vem cada valor: $36$ = passo 2: mulheres iniciais · $x$ = definição: mulheres contratadas (incógnita) · $117$ = passo 2: 99 homens + 18 contratados · $4/9$ = enunciado: razão final

Passo 4 — Resolver a proporção para achar x

A propriedade fundamental das proporções diz que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Isso transforma a equação fracionária em uma equação linear simples.

Por que esta fórmula: Multiplicando cruzado: 9 × (36 + x) = 4 × 117.

De onde vem cada valor: $9$ = enunciado: razão final 4/9 · $36 + x$ = passo 3: numerador da razão final · $4$ = enunciado: razão final 4/9 · $117$ = passo 3: denominador da razão final

Passo 5 — Calcular a diferença entre contratações

A pergunta final é quantos homens a mais serão contratados em relação às mulheres. Já sabemos que serão 18 homens e 16 mulheres.

Por que esta fórmula: A diferença é a subtração entre o número de homens contratados e o número de mulheres contratadas.

De onde vem cada valor: $18$ = enunciado: homens contratados · $x$ = passo 4: 16 mulheres contratadas

Resposta: 2 — alternativa C