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Questão de Matemática — Progressão Aritmética — VUNESP 2025

MatemáticaProgressão Aritmética
Código
vu219354
Banca
VUNESP
Órgão
FAMERP
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
A progressão aritmética (a1, a2, ..., a35), em que a1 = 8 e a2 =  294\frac{29}{4} tem 35 termos. O número de termos negativos nessa progressão aritmética é
  1. A25.
  2. B27.
  3. C26.
  4. D28.
  5. E24.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 24.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 24 termos negativos — alternativa E.

A ideia por trás

Uma progressão aritmética é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante chamada razão. Se a razão é negativa, os termos vão diminuindo; se é positiva, vão aumentando. Aqui a razão é negativa, então a sequência começa em 8 e vai caindo até valores negativos.

O termo geral de uma PA é a_n = a1 + (n-1)·r, onde n é a posição do termo. A razão r é a diferença entre dois termos consecutivos: r = a2 - a1. Como r é negativa, os termos decrescem linearmente; a partir de certo n, o termo fica menor que zero.

Esta questão pede para descobrir a partir de qual posição os termos se tornam negativos e contar quantos existem até o 35º. Isso exige resolver a inequação a_n < 0 e depois contar os inteiros consecutivos.

O que a questão dá

  • primeiro termo a1 = 8

  • segundo termo a2 = 29/4

  • número total de termos = 35

O que queremos: quantos termos da progressão são negativos

Passo 1 — Calcular a razão da progressão

A razão é o passo constante entre os termos; sem ela não dá para escrever o termo geral. Como temos o primeiro e o segundo termo, a razão é a diferença entre eles.

Por que esta fórmula: A definição de razão é a diferença entre um termo e seu antecessor: r = a2 - a1.

r=a2−a1r = a_2 - a_1

De onde vem cada valor: a2a_2 = enunciado: 29/4 · a1a_1 = enunciado: 8

r=294−8=294−324=−34r = \frac{29}{4} - 8 = \frac{29}{4} - \frac{32}{4} = -\frac{3}{4}
r=−3 /4r = \boxed{-3\ /4}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair ao contrário, a1 - a2, o que daria +3/4 e inverteria o sinal de todos os termos.

Passo 2 — Escrever o termo geral da PA

Com a razão em mãos, podemos expressar qualquer termo em função da posição n. Isso é necessário para descobrir quando o termo fica negativo.

Por que esta fórmula: O termo geral é a_n = a1 + (n-1)·r, que soma a1 com (n-1) vezes a razão.

an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n-1)\cdot r

De onde vem cada valor: a1a_1 = enunciado: 8 · rr = passo 1: -3/4

an=8+(n−1)⋅(−34)a_n = 8 + (n-1)\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)
an=8−34(n−1)a_n = \boxed{8 - \frac{3}{4}(n-1)}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o (n-1) e usar n, o que desloca a posição do primeiro termo negativo.

Passo 3 — Descobrir a partir de qual posição o termo é negativo

Queremos saber quando a_n < 0. Resolver essa inequação dá o menor n que torna o termo negativo.

Por que esta fórmula: É a condição de negatividade aplicada ao termo geral.

8−34(n−1)<08 - \frac{3}{4}(n-1) < 0

De onde vem cada valor: 88 = passo 2: termo geral · 34\frac{3}{4} = passo 1: razão

8−34(n−1)<0⇒8<34(n−1)⇒323<n−1⇒n>353≈11,67=n>11,67,ouseja,n≥128 - \frac{3}{4}(n-1) < 0 \Rightarrow 8 < \frac{3}{4}(n-1) \Rightarrow \frac{32}{3} < n-1 \Rightarrow n > \frac{35}{3} \approx 11{,}67 = \boxed{\text{n} > 11,67, \text{ou} \text{seja}, \text{n} ≥ 12}
NÃO CAIA NESSA!

Arredondar para baixo e considerar n = 11, mas o 11º termo é 0,5, positivo.

Passo 4 — Contar os termos negativos do 12º ao 35º

Sabemos que os termos negativos começam na posição 12 e vão até a posição 35. Falta contar quantos são.

Por que esta fórmula: Para contar inteiros consecutivos de a até b, usa-se b - a + 1.

quantidade=35−12+1\text{quantidade} = 35 - 12 + 1

De onde vem cada valor: 3535 = enunciado: total de termos · 1212 = passo 3: primeira posição negativa

35−12+1=2435 - 12 + 1 = 24

quantidade\text{quantidade} = 24 termos negativos

NÃO CAIA NESSA!

Fazer 35 - 12 = 23, esquecendo de incluir o próprio 12º termo.

Resposta: 24 termos negativos — alternativa E

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