Questão de Matemática — Sistemas Lineares — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 13 garrafas de suco de laranja — alternativa C.

A ideia por trás

Um sistema linear é um conjunto de equações que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo, envolvendo as mesmas incógnitas. Aqui, as incógnitas são as quantidades de cada bebida comprada, e cada informação do enunciado (total de garrafas, total de litros, total gasto) vira uma equação. Resolver o sistema é encontrar os valores que satisfazem todas as equações de uma vez.

Cada equação é uma soma ponderada das incógnitas: por exemplo, o total de litros é 1,5 vezes o número de águas mais 2 vezes o número de sucos de uva mais 1 vezes o número de sucos de laranja. O método de eliminação combina as equações para ir cancelando incógnitas uma a uma, até sobrar uma equação com uma única incógnita. Isso funciona porque, se duas equações são verdadeiras, qualquer combinação linear delas também é.

Esta questão pede apenas uma das três incógnitas, então o caminho é montar o sistema, eliminar a incógnita da água e depois resolver para a laranja.

O que a questão dá

• total de garrafas = 41

• total de litros = 59 L

• total gasto = R$ 489,00

• água: 1,5 L e R$ 3,50 por garrafa

• suco de uva: 2 L e R$ 28,00 por garrafa

• suco de laranja: 1 L e R$ 15,00 por garrafa

O que queremos: o número de garrafas de suco de laranja compradas

Passo 1 — Montar as três equações do sistema

Cada informação do enunciado é uma equação independente. Com três incógnitas, precisamos de três equações para conseguir uma solução única. Vamos chamar a = água, u = uva e l = laranja.

Por que esta fórmula: A primeira equação soma as quantidades de garrafas; a segunda soma os volumes (cada garrafa contribui com seu volume); a terceira soma os custos (cada garrafa contribui com seu preço).

De onde vem cada valor: $41$ = enunciado: total de garrafas · $59$ = enunciado: total de litros · $489$ = enunciado: total gasto · $1{,}5$ = enunciado: volume da água · $2$ = enunciado: volume do suco de uva · $1$ = enunciado: volume do suco de laranja · $3{,}5$ = enunciado: preço da água · $28$ = enunciado: preço do suco de uva · $15$ = enunciado: preço do suco de laranja

Passo 2 — Eliminar decimais multiplicando por 2

As equações têm decimais (1,5 e 3,5), o que atrapalha as contas. Multiplicar toda a equação por 2 não muda a solução, apenas deixa os coeficientes inteiros.

Por que esta fórmula: Multiplicar ambos os lados de uma equação por um mesmo número não altera a igualdade. Escolhemos 2 porque 1,5 × 2 = 3 e 3,5 × 2 = 7, eliminando as casas decimais.

De onde vem cada valor: $3$ = passo 1: 1,5 × 2 · $4$ = passo 1: 2 × 2 · $2$ = passo 1: 1 × 2 · $118$ = passo 1: 59 × 2 · $7$ = passo 1: 3,5 × 2 · $56$ = passo 1: 28 × 2 · $30$ = passo 1: 15 × 2 · $978$ = passo 1: 489 × 2

Passo 3 — Eliminar a incógnita a da segunda equação

Para resolver o sistema, queremos reduzir o número de incógnitas. Subtraindo 3 vezes a primeira equação da segunda, o termo 3a se cancela, sobrando uma relação entre u e l.

Por que esta fórmula: A segunda equação tem 3a e a primeira tem a. Multiplicando a primeira por 3, os coeficientes de a ficam iguais; subtraindo, o termo some. Isso é o método da adição.

De onde vem cada valor: $3a + 4u + 2l$ = passo 2: segunda equação · $a + u + l$ = passo 2: primeira equação · $118$ = passo 2: termo independente da segunda · $41$ = passo 2: termo independente da primeira

Passo 4 — Eliminar a incógnita a da terceira equação

Agora fazemos o mesmo com a terceira equação, para obter outra relação entre u e l. Com duas equações e duas incógnitas, o sistema fica mais simples.

Por que esta fórmula: A terceira equação tem 7a; multiplicando a primeira por 7, os coeficientes de a ficam iguais e subtraímos para cancelar.

De onde vem cada valor: $7a + 56u + 30l$ = passo 2: terceira equação · $a + u + l$ = passo 2: primeira equação · $978$ = passo 2: termo independente da terceira · $41$ = passo 2: termo independente da primeira

Passo 5 — Substituir u por l - 5 na equação restante

Do passo 3 temos u = l - 5. Substituindo na equação do passo 4, eliminamos u e ficamos com uma equação só com l, que podemos resolver.

Por que esta fórmula: Substituição é o método de trocar uma incógnita pela expressão equivalente obtida em outra equação. Isso reduz o número de incógnitas.

De onde vem cada valor: $49$ = passo 4: coeficiente de u · $l - 5$ = passo 3: expressão de u · $23$ = passo 4: coeficiente de l · $691$ = passo 4: termo independente

Passo 6 — Isolar l para achar o número de sucos de laranja

A equação 72l = 936 tem apenas a incógnita l. Dividindo ambos os lados por 72, obtemos o valor procurado.

Por que esta fórmula: Para isolar l, dividimos pelo coeficiente 72, pois a divisão é a operação inversa da multiplicação.

De onde vem cada valor: $936$ = passo 5: termo independente · $72$ = passo 5: coeficiente de l

Resposta: 13 garrafas de suco de laranja — alternativa C