Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2025

MatemáticaGeometria Analítica
Código
vu219357
Banca
VUNESP
Órgão
FAMERP
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
Considere, no plano cartesiano, a reta r de equação y = 2x + 1 e a reta s de equação y = – x + k, em que k é um número real. As retas r e s intersectam o eixo x nos pontos P e Q, respectivamente, e se intersectam no ponto T de ordenada 4, conforme mostra a figura.   A área do triângulo PQT éImagem associada para resolução da questão
  1. A14.
  2. B16.
  3. C18.
  4. D12.
  5. E10.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 12.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 12 (alternativa D).

A ideia por trás

No plano cartesiano, uma reta é o conjunto de pontos que satisfazem uma equação do tipo y = ax + b, onde a é a inclinação e b é onde ela corta o eixo y. Dois pontos importantes de uma reta são onde ela cruza os eixos: no eixo x, o ponto tem y = 0; no eixo y, tem x = 0. A área de um triângulo formado por três pontos pode ser calculada como base vezes altura dividido por 2, desde que a base e a altura sejam perpendiculares.

Quando duas retas se cruzam, o ponto de interseção pertence às duas, então suas coordenadas satisfazem ambas as equações. Para achar esse ponto, igualamos as duas expressões de y. A distância entre dois pontos sobre o eixo x é a diferença entre suas abscissas, em valor absoluto. A altura de um triângulo em relação a uma base horizontal é a distância vertical do vértice oposto até essa base, ou seja, o valor absoluto da ordenada desse vértice.

Esta questão pede para combinar esses conceitos: primeiro descobrir o valor de k usando o ponto T, depois achar P e Q, e por fim calcular a área do triângulo com base no eixo x.

O que a questão dá

  • reta r: y = 2x + 1

  • reta s: y = -x + k

  • T tem ordenada 4

  • P e Q são as interseções com o eixo x

O que queremos: a área do triângulo PQT

Passo 1 — Achar a abscissa de T na reta r

Sabemos que T tem y = 4 e está sobre a reta r. Para localizar T no plano, precisamos de sua coordenada x. Substituir y por 4 na equação de r nos dá exatamente isso.

Por que esta fórmula: A equação da reta r é y = 2x + 1. Como T pertence a r, suas coordenadas satisfazem essa equação. Colocando y = 4, resolvemos para x.

4=2x+14 = 2x + 1

De onde vem cada valor: 44 = enunciado: ordenada de T · 2x+12x + 1 = enunciado: equação da reta r

4=2x+14 = 2x + 1
x=32x = \boxed{\frac{3}{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair 1 antes de dividir por 2, obtendo x = 2.

Passo 2 — Achar a abscissa de T na reta s

T também pertence à reta s, então a mesma ordenada 4 deve satisfazer a equação de s. Isso nos dá uma relação entre x e k, que usaremos para descobrir k.

Por que esta fórmula: A equação de s é y = -x + k. Substituindo y = 4, obtemos uma equação com x e k.

4=−x+k4 = -x + k

De onde vem cada valor: 44 = enunciado: ordenada de T · −x+k-x + k = enunciado: equação da reta s

4=−x+k4 = -x + k
x=k−4x = \boxed{\text{k} - 4}
NÃO CAIA NESSA!

Isolar x de forma errada, trocando o sinal.

Passo 3 — Igualar as abscissas para achar k

T é o mesmo ponto para as duas retas, então a abscissa encontrada no passo 1 deve ser igual à do passo 2. Essa igualdade resolve k.

Por que esta fórmula: Como as duas expressões representam a mesma coordenada x de T, podemos igualá-las.

32=k−4\frac{3}{2} = k - 4

De onde vem cada valor: 32\frac{3}{2} = passo 1 · k−4k - 4 = passo 2

32=k−4\frac{3}{2} = k - 4
k=112k = \boxed{\frac{11}{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar 4 apenas de um lado, esquecendo de somar nos dois.

Passo 4 — Achar o ponto P na reta r

P é onde a reta r corta o eixo x. No eixo x, a ordenada é zero. Substituir y = 0 na equação de r dá a abscissa de P.

Por que esta fórmula: A equação de r é y = 2x + 1. Com y = 0, resolvemos para x.

0=2x+10 = 2x + 1

De onde vem cada valor: 00 = definição: ponto no eixo x tem y = 0 · 2x+12x + 1 = enunciado: equação da reta r

0=2x+10 = 2x + 1
x=−12x = \boxed{-\frac{1}{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal negativo ao isolar x.

Passo 5 — Achar o ponto Q na reta s

Q é onde a reta s corta o eixo x. Usamos o valor de k encontrado no passo 3 e fazemos y = 0.

Por que esta fórmula: A equação de s agora é y = -x + 11/2. Com y = 0, resolvemos para x.

0=−x+1120 = -x + \frac{11}{2}

De onde vem cada valor: 00 = definição: ponto no eixo x tem y = 0 · −x+112-x + \frac{11}{2} = passo 3: k = 11/2 na equação de s

0=−x+1120 = -x + \frac{11}{2}
x=112x = \boxed{\frac{11}{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de usar o k encontrado e usar k genérico.

Passo 6 — Calcular a base do triângulo

A base do triângulo PQT é o segmento PQ, que está sobre o eixo x. A distância entre P e Q é a diferença entre suas abscissas.

Por que esta fórmula: A distância entre dois pontos no eixo x é o valor absoluto da diferença das abscissas.

base=∣xQ−xP∣base = |x_Q - x_P|

De onde vem cada valor: xQx_Q = passo 5: 11/2 · xPx_P = passo 4: -1/2

base=∣112−(−12)∣base = \left|\frac{11}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)\right|
base=6base = \boxed{6}
NÃO CAIA NESSA!

Somar as abscissas em vez de subtrair, ou esquecer o sinal de P.

Passo 7 — Calcular a área do triângulo

Com a base e a altura, aplicamos a fórmula da área do triângulo. A altura é a distância vertical de T até a base, que é a ordenada de T.

Por que esta fórmula: A área de um triângulo é metade do produto da base pela altura. Aqui a base é horizontal e a altura é vertical, então são perpendiculares.

Aˊrea=base×altura2\text{Área} = \frac{\text{base} \times \text{altura}}{2}

De onde vem cada valor: basebase = passo 6: 6 · alturaaltura = enunciado: ordenada de T = 4

Aˊrea=6×42=12\text{Área} = \frac{6 \times 4}{2} = \boxed{12}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2, obtendo 24.

Resposta: 12 (alternativa D)

Link permanente: /questoes/vu219357