GabaritoC — 7 m.
Gabarito: letra C — a conta chega a 7 m — alternativa C.
Um retângulo é um quadrilátero com quatro ângulos retos, e suas duas medidas principais são a base (ou comprimento) e a altura (ou largura). A área mede quanto espaço a superfície ocupa, em metros quadrados, e o perímetro mede o contorno total, em metros — é a soma de todos os lados.
Para um retângulo de base b e altura h, a área é A = b × h e o perímetro é P = 2b + 2h. Se você conhece os valores dessas duas grandezas, pode montar um sistema de equações para descobrir b e h. A área cresce com o produto dos lados, enquanto o perímetro cresce com a soma — por isso, com área e perímetro dados, os lados ficam determinados.
Esta questão fornece a área e o perímetro e pede a diferença entre os lados. O caminho é montar o sistema, resolver a equação do 2º grau resultante e, no final, subtrair os valores encontrados.
área do terreno = 450 m²
perímetro do terreno = 86 m
O que queremos: a diferença entre as medidas da largura e do comprimento do terreno
Temos duas informações sobre o retângulo — área e perímetro — e duas incógnitas, a base e a altura. Cada informação vira uma equação, e juntas formam um sistema que permite achar os dois lados.
Por que esta fórmula: As fórmulas do retângulo são A = b × h e P = 2b + 2h. Substituindo os valores dados, obtemos o sistema.
De onde vem cada valor: = definição: base (comprimento) do retângulo · = definição: altura (largura) do retângulo · = enunciado: área = 450 m² · = enunciado: perímetro = 86 m
Esquecer de dividir o perímetro por 2 antes de montar o sistema — usar 2b + 2h = 86 direto é correto, mas simplificar para b + h = 43 facilita.
A equação do perímetro tem um fator 2 em cada termo; dividir tudo por 2 deixa a soma dos lados mais simples de trabalhar, e é essa forma que vamos usar para isolar uma variável.
Por que esta fórmula: Dividir ambos os lados de uma equação por um mesmo número não muda a solução. Aqui, 2b + 2h = 86 vira b + h = 43.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 1 · = passo 1: 86 ÷ 2
Esquecer de dividir o 86 também — b + h = 86 levaria a uma equação do 2º grau com raízes erradas.
Com duas equações e duas incógnitas, o método da substituição funciona: isolamos b na equação do perímetro e substituímos na equação da área, transformando o problema em uma equação só com h.
Por que esta fórmula: Da equação b + h = 43, subtraímos h dos dois lados para obter b = 43 - h.
De onde vem cada valor: = passo 2 · = definição: altura (largura) do retângulo
Isolar h em vez de b — não tem problema, desde que depois substitua corretamente; o erro é trocar os sinais ao subtrair.
Agora que b está em função de h, colocamos essa expressão na equação da área. Isso elimina b e deixa uma equação do 2º grau apenas com h.
Por que esta fórmula: Substituir b por 43 - h em b × h = 450 é aplicar a substituição que isolamos no passo anterior.
De onde vem cada valor: = passo 3 · = passo 1
Errar a distributiva: (43 - h) × h = 43h - h², não 43h - h.
Para resolver com Bhaskara, a equação precisa estar na forma ax² + bx + c = 0. Expandimos o produto e passamos tudo para um lado.
Por que esta fórmula: Expandindo (43 - h) × h = 450, temos 43h - h² = 450. Somando h² - 43h + 450 = 0, chegamos à forma padrão.
De onde vem cada valor: = passo 4: termo -h² · = passo 4: termo 43h · = passo 4: termo 450
Esquecer de trocar o sinal ao passar os termos para o outro lado — 43h - h² = 450 vira h² - 43h + 450 = 0, não h² - 43h - 450 = 0.
O discriminante Δ = b² - 4ac indica quantas raízes a equação tem e é o primeiro passo da fórmula de Bhaskara. Com ele, sabemos se há solução real.
Por que esta fórmula: Na equação h² - 43h + 450 = 0, temos a = 1, b = -43 e c = 450. Aplicamos a fórmula do discriminante.
De onde vem cada valor: = passo 5: -43 · = passo 5: 1 · = passo 5: 450
Errar o sinal de b: (-43)² = 1849, não -1849.
Com o discriminante em mãos, aplicamos a fórmula de Bhaskara para encontrar os dois valores possíveis de h. Como o retângulo tem dois lados, as raízes serão as duas dimensões.
Por que esta fórmula: A fórmula de Bhaskara é h = (-b ± √Δ) / (2a). Substituímos os coeficientes e o discriminante.
De onde vem cada valor: = passo 5: -43 · = passo 6: 49 · = passo 5: 1
h = 25 ou h = 18
Esquecer o ± e achar só uma raiz — as duas são necessárias para achar a diferença.
A questão não pede os lados, mas a diferença entre eles. Como as raízes são 18 e 25, subtraímos o menor do maior.
Por que esta fórmula: A diferença entre dois números é o maior menos o menor, sempre positiva.
De onde vem cada valor: = passo 7 · = passo 7
Marcar 18 ou 25 diretamente, esquecendo que a pergunta é pela diferença.
Resposta: 7 m — alternativa C
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