Questão de Matemática — Cálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo — VUNESP 2025

Cálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo

Gabarito: letra E — a área do retângulo é $18\sqrt{2}$ cm². A diagonal $\overline{QS}$ mede 9 cm e o ângulo $P\hat{Q}S$ tem cosseno $\frac{1}{3}$; isso permite decompor a diagonal nos lados do retângulo usando as razões trigonométricas, e a área é o produto desses lados.

A ideia por trás

A questão mistura dois conteúdos de geometria plana: as razões trigonométricas no triângulo retângulo e o cálculo de área de um retângulo. A diagonal de um retângulo o divide em dois triângulos retângulos congruentes, e é exatamente um desses triângulos que carrega as informações do enunciado.

No triângulo retângulo $PQS$, a diagonal $\overline{QS}$ é a hipotenusa (9 cm), e o ângulo $P\hat{Q}S = \alpha$ tem cosseno $\frac{1}{3}$. O cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa:

O cateto adjacente ao ângulo $\alpha$ é o lado $\overline{PQ}$ (a base do retângulo). Assim:

Agora, para encontrar o outro lado $\overline{PS}$, usamos o Teorema de Pitágoras no mesmo triângulo retângulo:

A área do retângulo é o produto dos lados:

Por que a relação fundamental é útil (e como ela agiliza)

Em vez de aplicar Pitágoras, poderíamos usar a relação fundamental da trigonometria: $\text{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Com $\cos\alpha = \frac{1}{3}$:

O seno é a razão entre o cateto oposto ($\overline{PS}$) e a hipotenusa:

Ambos os caminhos levam ao mesmo resultado. O importante é reconhecer que, dado um ângulo e a hipotenusa, as razões trigonométricas fornecem diretamente os catetos.

A pegadinha da banca

A banca não entrega o valor do seno — entrega apenas o cosseno. O candidato que não lembra da relação fundamental ou do Teorema de Pitágoras trava. Além disso, os distratores são múltiplos de $\sqrt{2}$ com coeficientes diferentes, o que sugere que o erro mais comum é errar o cálculo de $PS$ (por exemplo, esquecer de extrair a raiz ou errar a multiplicação).

Alternativa A — ❌ Incorreta

$12\sqrt{2}$ seria o resultado se $PS = 4\sqrt{2}$ e $PQ = 3$. Isso ocorreria se o seno fosse $\frac{4\sqrt{2}}{9}$, o que não corresponde a $\cos\alpha = \frac{1}{3}$. É um distrator que surge de erros na simplificação da raiz ou na aplicação da relação fundamental.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$14\sqrt{2}$ não corresponde a nenhuma combinação simples dos dados. Se $PQ = 3$ e $PS = \frac{14\sqrt{2}}{3}$, o Teorema de Pitágoras não se verifica com hipotenusa 9. É um valor aleatório que não deriva de nenhum erro comum de cálculo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$16\sqrt{2}$ seria o resultado se $PS = \frac{16\sqrt{2}}{3}$ e $PQ = 3$. Novamente, isso não satisfaz o Teorema de Pitágoras com hipotenusa 9. É outro distrator numérico sem fundamento nos dados.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$20\sqrt{2}$ seria o resultado se $PS = \frac{20\sqrt{2}}{3}$ e $PQ = 3$. Esse valor também não é compatível com a hipotenusa 9. É um distrator que pode atrair quem erra a extração da raiz quadrada de 72.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $PQ = 3$ cm (cateto adjacente a $\alpha$) e $PS = 6\sqrt{2}$ cm (cateto oposto a $\alpha$, obtido por Pitágoras ou pela relação fundamental). A área é $3 \times 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$ cm².

Gabarito: letra E