Questão de Matemática — Geometria Espacial — VUNESP 2025
Matemática›Geometria Espacial
Código
vu219364
Banca
VUNESP
Órgão
ARSESP
Ano
2025
Cargo
Ag SR ( )
A ponta de uma flecha para prática esportiva tem a forma de um cone reto, com 5 mm de raio e altura H. Ela é feita de um material que tem 3 g para cada cm3. A figura a seguir (fora de escala) representa essa ponta de flecha:
Sabendo que a massa total dessa ponta de flecha é 1,8 g, se for utilizado no cálculo o valor aproximado π=3, é correto concluir que sua altura H mede
A32 mm.
B8 mm.
C40 mm.
D16 mm.
E24 mm.
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GabaritoE — 24 mm.
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Resolução
Gabarito: letra E — a conta chega a H = 24 mm — alternativa E.
A ideia por trás
A densidade de um material diz quanta massa existe em cada unidade de volume: aqui, cada centímetro cúbico pesa 3 gramas. O volume de um cone reto é a medida do espaço que ele ocupa, e depende da área da base (πr²) e da altura H, sendo um terço do volume de um cilindro com a mesma base e altura.
A densidade relaciona massa e volume por d = m/V, então o volume é a massa dividida pela densidade. O volume do cone é V = (1/3)πr²H. Como a densidade está em g/cm³ e o raio em mm, é preciso converter tudo para a mesma unidade antes de usar as fórmulas — 1 cm³ = 1000 mm³.
Esta questão exige encadear duas relações: primeiro achar o volume a partir da massa e da densidade, depois usar esse volume na fórmula do cone para isolar a altura. A pegadinha está na conversão de unidades entre cm³ e mm³.
O que a questão dá
raio da base do cone = 5 mm
densidade do material = 3 g/cm³
massa total da ponta = 1,8 g
π = 3 (valor aproximado)
O que queremos: a altura H da ponta de flecha em milímetros
Passo 1 — Calcular o volume da ponta
A densidade nos diz quanta massa há em cada volume; com a massa total e a densidade, podemos descobrir quanto espaço a ponta ocupa. Esse volume é o elo entre os dados e a geometria do cone.
Por que esta fórmula: A definição de densidade é d = m/V, então isolamos V = m/d. É a relação direta entre as grandezas dadas.
De onde vem cada valor: = enunciado: 1,8 g · = enunciado: 3 g/cm³
NÃO CAIA NESSA!
Multiplicar massa por densidade em vez de dividir — daria 5,4 cm³, um volume absurdo.
Passo 2 — Converter o volume para mm³
O raio foi dado em milímetros, e a fórmula do cone precisa de todas as medidas na mesma unidade. Como o volume está em cm³, precisamos passá-lo para mm³ para casar com o raio.
Por que esta fórmula: 1 cm = 10 mm, então 1 cm³ = (10 mm)³ = 1000 mm³. Para converter de cm³ para mm³, multiplicamos por 1000.
V_mm^3 = V_cm^3 × 1000
De onde vem cada valor: V_cm^3 = passo 1: 0,6 cm³
V_mm^3 = 0,6 × 1000 = 600\ mm^3
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer a conversão e usar 0,6 cm³ na fórmula com raio em mm — o resultado sai 1000 vezes menor.
Passo 3 — Aplicar a fórmula do volume do cone
Agora temos o volume em mm³ e o raio em mm, então podemos usar a fórmula do cone para relacionar essas grandezas com a altura H, que é o que queremos.
Por que esta fórmula: O volume de um cone reto é um terço do volume de um cilindro com a mesma base e altura, por isso V = (1/3)πr²H. É a fórmula geométrica que liga volume, raio e altura.
De onde vem cada valor: = passo 2: 600 mm³ · = enunciado: 3 · = enunciado: 5 mm
NÃO CAIA NESSA!
Usar π = 3,14 em vez de 3 — o resultado final ficaria próximo, mas não exato como pedido.
Passo 4 — Isolar a altura H
A equação do passo anterior já tem H como incógnita; basta dividir ambos os lados por 25 para obter a altura.
Por que esta fórmula: Para isolar H, dividimos os dois lados da equação pelo coeficiente 25, que multiplica H.
De onde vem cada valor: = passo 3: volume em mm³ · = passo 3: coeficiente de H
NÃO CAIA NESSA!
Errar a divisão 600/25 — alguns podem calcular 600/2,5 = 240, confundindo a vírgula.
