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Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2025

MatemáticaDivisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
vu219368
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Sorocaba
Ano
2025
Cargo
Prof ( )
Em uma empresa, há 3 departamentos que elaboram relatórios periódicos destinados ao escritório central: o primeiro, a cada 10 dias; o segundo, a cada 14 dias; e o terceiro, a cada 15 dias. Esses relatórios são enviados automaticamente pelo sistema, independentemente de as datas de entrega coincidirem ou não com feriados ou finais de semana. No dia 20.01.2025, o sistema enviou o relatório desses 3 departamentos ao escritório central. Sabendo que, em 2025, o mês de fevereiro contou com 28 dias, que os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias, que os demais têm 30 e ainda que o sistema operou rigorosamente de acordo com os cronogramas de envio dos relatórios dos 3 departamentos, a próxima vez em que o sistema enviará os relatórios dos 3 departamentos em um mesmo dia terá sido no dia
  1. A28.02.2025.
  2. B30.07.2025.
  3. C18.08.2025.
  4. D28.08.2025.
  5. E30.09.2025.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 18.08.2025.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 18.08.2025 — alternativa C.

A ideia por trás

Quando vários eventos se repetem em intervalos regulares, a próxima vez que eles acontecem juntos é dada pelo mínimo múltiplo comum (MMC) desses intervalos. O MMC é o menor número que é múltiplo de todos eles ao mesmo tempo — é como procurar o menor ritmo que sincroniza três relógios.

Para achar o MMC, decompomos cada número em fatores primos e pegamos cada fator com o maior expoente que aparece. Por exemplo, 10 = 2×5, 14 = 2×7, 15 = 3×5; o MMC é 2×3×5×7 = 210. Isso significa que, a cada 210 dias, os três períodos coincidem novamente.

A questão pede exatamente esse intervalo de coincidência: calcular o MMC de 10, 14 e 15 e depois somar 210 dias à data inicial, respeitando o calendário de 2025.

O que a questão dá

  • período do 1º departamento = 10 dias

  • período do 2º departamento = 14 dias

  • período do 3º departamento = 15 dias

  • data inicial = 20.01.2025

  • fevereiro de 2025 = 28 dias

  • meses de 31 dias: janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro

  • meses de 30 dias: abril, junho, setembro, novembro

O que queremos: a próxima data em que os três departamentos enviam relatórios no mesmo dia

Passo 1 — Calcular o MMC de 10, 14 e 15

Precisamos do menor intervalo em que os três períodos se alinham. Como cada departamento envia em um ciclo fixo, a coincidência só ocorre em um múltiplo comum dos três períodos; o menor deles é o MMC.

Por que esta fórmula: A decomposição simultânea em fatores primos é o método direto: dividimos os números pelos primos em ordem crescente até todos virarem 1, e o MMC é o produto dos fatores usados.

MMC(10,14,15)=2×3×5×7MMC(10, 14, 15) = 2 \times 3 \times 5 \times 7

De onde vem cada valor: 1010 = enunciado: período do 1º departamento · 1414 = enunciado: período do 2º departamento · 1515 = enunciado: período do 3º departamento · 22 = constante: fator primo comum a 10 e 14 · 33 = constante: fator primo de 15 · 55 = constante: fator primo de 10 e 15 · 77 = constante: fator primo de 14

MMC=2×3×5×7=210 diasMMC = 2 \times 3 \times 5 \times 7 = \boxed{210\ \text{dias}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir com MDC, que daria 1; aqui o problema pede coincidência, então é MMC.

Passo 2 — Contar os dias de janeiro até julho

Para somar 210 dias à data inicial, precisamos saber quantos dias já se passaram até o fim de julho, para ver em qual mês cai o 210º dia.

Por que esta fórmula: Somamos os dias restantes de janeiro (do dia 21 ao 31, são 11 dias) e os meses completos de fevereiro a julho, usando os totais dados no enunciado.

11+28+31+30+31+30+3111 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31

De onde vem cada valor: 1111 = definição: dias de 21 a 31 de janeiro (31 - 20 = 11) · 2828 = enunciado: fevereiro de 2025 tem 28 dias · 3131 = enunciado: março, maio e julho têm 31 dias · 3030 = enunciado: abril e junho têm 30 dias

11+28+31+30+31+30+31=192=192 diasateˊ31.07.202511 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 = 192 = \boxed{192\ \text{dias} \text{at}é 31.07.2025}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que janeiro tem 31 dias e contar apenas 10 dias restantes, ou errar o total de julho (31, não 30).

Passo 3 — Descobrir quantos dias faltam para agosto

Já contamos 192 dias, mas precisamos de 210. A diferença indica quantos dias de agosto precisamos somar para chegar à data final.

Por que esta fórmula: Subtração simples: 210 − 192 = 18. Isso significa que o 210º dia cai no 18º dia de agosto.

210−192210 - 192

De onde vem cada valor: 210210 = passo 1: MMC · 192192 = passo 2: dias até 31.07

210−192=18=18 diasdeagosto210 - 192 = 18 = \boxed{18\ \text{dias} \text{de} \text{agosto}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar 18 a partir de 1º de agosto, mas o 18º dia é 18.08, não 19.08.

Resposta: 18.08.2025 — alternativa C

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