Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Geometria Espacial — VUNESP 2025

MatemáticaGeometria Espacial
Código
vu219369
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Sorocaba
Ano
2025
Cargo
Prof ( )
Maurício tem diversos componentes eletrônicos a serem organizados e, para isso, pretende colocá-los em caixinhas cúbicas, todas de mesmo tamanho, e depois acomodar essas caixinhas em 2 caixotes grandes, com forma de paralelepípedo retângulo, cujas dimensões de altura, largura e comprimento, em centímetros, são 12, 30, 48 para o primeiro e 18, 36 e 42 para o segundo. Ao escolher o tamanho das caixinhas, ele escolheu o maior possível, mas de maneira que, depois de acomodá-las nos caixotes grandes, não fique sobrando nenhum espaço no interior destes.   Atendidas essas especificações, o número total de caixinhas que ele vai comprar é
  1. A206.
  2. B196.
  3. C186.
  4. D176.
  5. E166.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 206.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 206 caixinhas — alternativa A.

A ideia por trás

Um paralelepípedo retângulo é uma caixa com seis faces retangulares, e seu volume é o produto das três dimensões: altura × largura × comprimento. Um cubo é um caso especial em que todas as arestas são iguais; seu volume é o cubo da aresta. Para encaixar cubos dentro de uma caixa sem sobrar espaço, a aresta do cubo precisa dividir exatamente cada dimensão da caixa, ou seja, ser um divisor comum delas.

O máximo divisor comum (MDC) de vários números é o maior número que divide todos eles sem deixar resto. Quando queremos o maior cubo possível que preencha uma caixa, a aresta dele é exatamente o MDC das dimensões da caixa. Como temos dois caixotes, a aresta deve dividir as dimensões de ambos, então calculamos o MDC de todas as seis dimensões. Depois, o número de cubos em cada caixa é o produto das divisões de cada dimensão pela aresta.

Esta questão pede para encontrar o maior cubo que preenche dois caixotes diferentes, então precisamos calcular o MDC de todas as dimensões e depois contar quantos cubos cabem em cada caixote.

O que a questão dá

  • dimensões do 1º caixote: 12 cm, 30 cm, 48 cm

  • dimensões do 2º caixote: 18 cm, 36 cm, 42 cm

  • caixinhas cúbicas de mesmo tamanho

  • sem sobrar espaço nos caixotes

O que queremos: o número total de caixinhas cúbicas que cabem nos dois caixotes

Passo 1 — Calcular o MDC de todas as dimensões

Para que os cubos preencham os dois caixotes sem sobrar espaço, a aresta do cubo deve dividir exatamente cada uma das seis dimensões. O maior cubo possível terá a aresta igual ao maior número que divide todas elas, ou seja, o MDC.

Por que esta fórmula: O MDC é obtido fatorando cada número e multiplicando os fatores comuns com os menores expoentes. Aqui, os fatores comuns são 2 e 3, ambos com expoente 1.

MDC(12,30,48,18,36,42)=2×3MDC(12, 30, 48, 18, 36, 42) = 2 \times 3

De onde vem cada valor: 1212 = enunciado: 1º caixote, altura · 3030 = enunciado: 1º caixote, largura · 4848 = enunciado: 1º caixote, comprimento · 1818 = enunciado: 2º caixote, altura · 3636 = enunciado: 2º caixote, largura · 4242 = enunciado: 2º caixote, comprimento

MDC=2×3=6 cmMDC = 2 \times 3 = \boxed{6\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular o MDC apenas das dimensões de um caixote, esquecendo o outro. Isso daria 6 também, mas é preciso verificar todos.

Passo 2 — Contar cubos no primeiro caixote

Com a aresta do cubo definida, agora contamos quantos cubos cabem em cada dimensão do primeiro caixote. Dividir cada dimensão pela aresta dá o número de cubos naquela direção.

Por que esta fórmula: O número de cubos que cabem em uma dimensão é a divisão inteira da dimensão pela aresta. O total é o produto dessas quantidades.

N1=126×306×486N_1 = \frac{12}{6} \times \frac{30}{6} \times \frac{48}{6}

De onde vem cada valor: 1212 = enunciado: 1º caixote, altura · 3030 = enunciado: 1º caixote, largura · 4848 = enunciado: 1º caixote, comprimento · 66 = passo 1: aresta do cubo

N1=2×5×8=80 cubosN_1 = 2 \times 5 \times 8 = \boxed{80\ \text{cubos}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o volume do caixote dividido pelo volume do cubo, o que também funciona, mas é mais trabalhoso e pode levar a erros de cálculo.

Passo 3 — Contar cubos no segundo caixote

O mesmo raciocínio se aplica ao segundo caixote: dividimos cada dimensão pela aresta e multiplicamos.

Por que esta fórmula: Mesma lógica do passo anterior: o número de cubos é o produto das divisões das dimensões pela aresta.

N2=186×366×426N_2 = \frac{18}{6} \times \frac{36}{6} \times \frac{42}{6}

De onde vem cada valor: 1818 = enunciado: 2º caixote, altura · 3636 = enunciado: 2º caixote, largura · 4242 = enunciado: 2º caixote, comprimento · 66 = passo 1: aresta do cubo

N2=3×6×7=126 cubosN_2 = 3 \times 6 \times 7 = \boxed{126\ \text{cubos}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir as dimensões do segundo caixote com as do primeiro, trocando os números.

Passo 4 — Somar os cubos dos dois caixotes

O problema pede o total de caixinhas, então somamos as quantidades de cada caixote.

Por que esta fórmula: A soma direta dos dois resultados parciais.

Ntotal=N1+N2N_{total} = N_1 + N_2

De onde vem cada valor: N1N_1 = passo 2: 80 cubos · N2N_2 = passo 3: 126 cubos

Ntotal=80+126=206 cubosN_{total} = 80 + 126 = \boxed{206\ \text{cubos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar os dois caixotes e responder apenas um deles.

Resposta: 206 caixinhas — alternativa A

Link permanente: /questoes/vu219369