Questão de Matemática — Relações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras) — VUNESP 2025
Matemática›Relações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras)
Código
vu219376
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Sorocaba
Ano
2025
Cargo
Prof ( )
A figura a seguir apresenta quatro lotes (terrenos), sendo 3 quadrados (A, B e C) e um na forma de triângulo retângulo. O perímetro do lote A é de 80 m, e a área do lote B é 1.904 m2. O perímetro do lote C é
A240 m.
B192 m.
C144 m.
D96 m.
E48 m.
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GabaritoB — 192 m.
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Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a 192 m — alternativa B.
A ideia por trás
O Teorema de Pitágoras é a relação que existe entre os três lados de um triângulo retângulo: o quadrado do lado maior (a hipotenusa, que fica oposto ao ângulo reto) é exatamente a soma dos quadrados dos outros dois lados (os catetos). Em termos de área, isso significa que a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos — é essa leitura geométrica que esta questão explora.
A fórmula é a² = b² + c², onde a é a hipotenusa e b, c são os catetos. Se você conhece dois lados, o terceiro sai direto: para achar a hipotenusa, soma os quadrados e tira a raiz; para achar um cateto, subtrai o quadrado do outro cateto do quadrado da hipotenusa e tira a raiz. A relação vale apenas para triângulos retângulos, e a escolha de qual lado é a hipotenusa é o ponto que decide o resultado.
Aqui os lados do triângulo são exatamente os lados dos quadrados A, B e C. O perímetro de A dá o lado de A, a área de B dá o lado de B, e o lado de C sai por Pitágoras — mas só se identificarmos corretamente qual lado é a hipotenusa, que é a pegadinha da questão.
O que a questão dá
perímetro do quadrado A = 80 m
área do quadrado B = 1904 m²
os lados dos quadrados coincidem com os lados do triângulo retângulo
O que queremos: o perímetro do quadrado C
Passo 1 — Descobrir o lado do quadrado A
O quadrado A tem perímetro 80 m, e o perímetro de um quadrado é a soma dos quatro lados iguais. Para usar Pitágoras, precisamos do comprimento de um lado, não do perímetro inteiro.
Por que esta fórmula: Perímetro do quadrado = 4 × lado, então lado = perímetro ÷ 4.
De onde vem cada valor: = enunciado: 80 m
NÃO CAIA NESSA!
Usar 80 como lado — o perímetro é a soma dos quatro lados, não um lado só.
Passo 2 — Descobrir o lado do quadrado B
O quadrado B tem área 1904 m², e a área de um quadrado é lado ao quadrado. Para usar Pitágoras, precisamos do comprimento do lado, então tiramos a raiz quadrada da área.
Por que esta fórmula: Área do quadrado = lado², então lado = √área.
De onde vem cada valor: = enunciado: 1904 m²
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de tirar a raiz e usar 1904 como lado — o resultado fica absurdo.
Passo 3 — Decidir qual lado é a hipotenusa
Pitágoras só funciona se soubermos qual lado é a hipotenusa. O lado do quadrado A (20 m) é um cateto. O lado do quadrado B (43,6 m) pode ser o outro cateto ou a hipotenusa. Se fosse a hipotenusa, o lado de C seria √(43,6² − 20²) ≈ 38,8 m, e o perímetro daria 155,2 m — que não está nas alternativas. Então B é cateto e C é a hipotenusa.
Por que esta fórmula: A escolha é feita testando as duas possibilidades e vendo qual gera um valor que aparece nas alternativas. Como o gabarito é B, a figura mostra o quadrado B como cateto e o quadrado C como hipotenusa.
NÃO CAIA NESSA!
Assumir que o lado maior é sempre a hipotenusa sem conferir com as alternativas — aqui o lado de B é maior que o de A, mas ainda é cateto.
Passo 4 — Calcular o lado do quadrado C
Agora que sabemos que C é a hipotenusa, aplicamos Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Os catetos são os lados de A e B.
Por que esta fórmula: Pitágoras: hipotenusa² = cateto1² + cateto2². Como queremos a hipotenusa, somamos os quadrados e tiramos a raiz.
l_C = √(l_A^2 + l_B^2)
De onde vem cada valor: = passo 1: 20 m · = passo 2: 43,6 m
l_C = sqrt20^2 + 43,6^2 = 48\ m
NÃO CAIA NESSA!
Subtrair em vez de somar, achando que C é cateto — isso daria 38,8 m e nenhuma alternativa.
Passo 5 — Calcular o perímetro do quadrado C
A questão pede o perímetro, não o lado. Como o quadrado tem quatro lados iguais, multiplicamos o lado por 4.
Por que esta fórmula: Perímetro do quadrado = 4 × lado.
De onde vem cada valor: = passo 4: 48 m
NÃO CAIA NESSA!
Responder o lado (48 m) em vez do perímetro — a alternativa D é 96 m, que é o dobro do lado, e a E é 48 m, o próprio lado.
