Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 11 (alternativa B).

A ideia por trás

Um número de três algarismos é formado por centena, dezena e unidade. Por exemplo, em 345, o 3 vale 300, o 4 vale 40 e o 5 vale 5. O problema impõe uma relação entre a centena e a unidade: a centena deve ser exatamente 3/5 da unidade. Como os algarismos vão de 0 a 9, precisamos encontrar pares (centena, unidade) que satisfaçam essa fração.

A relação centena = (3/5) × unidade significa que, se a unidade for 5, a centena será 3; se a unidade for 10, a centena seria 6, mas 10 não é um algarismo válido. Portanto, o único par possível é centena = 3 e unidade = 5. O número tem a forma 3d5, onde d é a dezena, que pode ser qualquer algarismo de 0 a 9, exceto 3 e 5, pois os algarismos devem ser distintos.

Esta questão cobra a aplicação do princípio fundamental da contagem para listar todos os números possíveis e depois somá-los. A chave é identificar corretamente o único par (centena, unidade) e então variar a dezena.

O que a questão dá

• número inteiro positivo de três algarismos distintos

• algarismo da centena = 3/5 do algarismo da unidade

O que queremos: a soma dos algarismos do número obtido ao somar todos os números que satisfazem a propriedade

Passo 1 — Encontrar os pares possíveis de centena e unidade

Precisamos saber quais algarismos podem ocupar a centena e a unidade. A relação é centena = (3/5) × unidade. Testamos valores de unidade de 0 a 9: para unidade = 5, centena = 3; para unidade = 10, centena = 6, mas 10 não é algarismo. Então só existe o par (3,5).

Por que esta fórmula: A relação é dada diretamente: centena = (3/5) × unidade. Basta testar os valores possíveis de unidade (0 a 9) e ver quais resultam em centena inteira entre 1 e 9.

De onde vem cada valor: $unidade$ = enunciado: algarismo da unidade, de 0 a 9 · $3/5$ = enunciado: fração dada

par (centena=3, unidade=5)

Passo 2 — Listar os algarismos possíveis para a dezena

Com centena e unidade fixas (3 e 5), a dezena pode ser qualquer algarismo de 0 a 9, exceto 3 e 5, porque os algarismos devem ser distintos. Isso nos dá 8 possibilidades.

Por que esta fórmula: Não há fórmula; é contagem direta: de 0 a 9 são 10 algarismos, excluímos 3 e 5, sobram 8.

dezenas possíveis: 0, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9

Passo 3 — Escrever todos os números possíveis

Com a centena fixa em 3 e a unidade em 5, cada dezena forma um número. Precisamos listá-los para somar.

Por que esta fórmula: Cada número é formado por centena, dezena e unidade: 3d5.

De onde vem cada valor: $3$ = passo 1: centena = 3 · $d$ = passo 2: dezena possível · $5$ = passo 1: unidade = 5

Passo 4 — Somar todos os números listados

O problema pede a soma de todos os números que satisfazem a propriedade. Somamos os 8 números encontrados.

Por que esta fórmula: Soma direta dos números listados.

De onde vem cada valor: $305, 315, ...$ = passo 3: números listados

Passo 5 — Calcular a soma dos algarismos do total

A questão pede a soma dos algarismos do número obtido, não o número em si. Somamos os algarismos de 2810.

Por que esta fórmula: Soma dos algarismos: 2 + 8 + 1 + 0.

De onde vem cada valor: $2, 8, 1, 0$ = passo 4: algarismos de 2810

Resposta: 11 (alternativa B)