Questão de Matemática — Geometria Espacial — VUNESP 2025

Volume do tronco de cone e o método do paralelepípedo

Gabarito: letra B. O volume do tronco de cone é estimado pelo volume de um paralelepípedo de base quadrada, cujo lado é um quarto do comprimento da circunferência média do tronco. Calculando: o raio médio é 0,625 m, a circunferência média é $C = 2\pi \cdot 0,625 = \frac{5\pi}{4}$ m, o lado do quadrado é $x = \frac{C}{4} = \frac{5\pi}{16}$ m, e o volume do paralelepípedo é $V = x^2 \cdot 6 = \frac{75\pi^2}{128}$ m³.

O problema apresenta um método prático, usado por madeireiros, para estimar o volume de um tronco de árvore, que é modelado como um tronco de cone circular reto. Em vez de calcular o volume exato do tronco de cone pela fórmula clássica, o método aproxima o volume pelo volume de um paralelepípedo reto-retângulo de base quadrada. A ideia central é usar a circunferência média do tronco para definir o lado da base do paralelepípedo.

Primeiro, precisamos entender o que é a "circunferência circular média" do tronco. O tronco de cone tem duas bases circulares: uma com raio 0,75 m (base maior) e outra com raio 0,5 m (base menor). A circunferência média é aquela que está a meia altura do tronco, ou seja, no ponto médio entre as duas bases. Nesse ponto, o raio da seção transversal é a média aritmética dos raios das bases, pois o tronco de cone é um sólido de revolução com geratriz reta, e o raio varia linearmente com a altura. Assim, o raio médio é:

Com o raio médio, calculamos o comprimento da circunferência média:

O enunciado diz que o barbante de comprimento C é dobrado em quatro partes iguais. Cada parte representa o lado x de um quadrado. Portanto:

O paralelepípedo tem base quadrada de lado x e altura 6 m (a mesma altura do tronco). O volume de um paralelepípedo reto-retângulo é dado pelo produto da área da base pela altura. A área da base quadrada é $x^2$. Assim:

Portanto, o volume estimado do tronco, calculado pelo volume do paralelepípedo, é $\frac{75\pi^2}{128}$ m³, que corresponde à alternativa B.

É importante notar que este método é uma aproximação. O volume real do tronco de cone seria calculado pela fórmula $V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)$, onde R e r são os raios das bases e h é a altura. Vamos calcular para comparar:

Já o volume do paralelepípedo é $\frac{75\pi^2}{128} \approx \frac{75 \cdot 9,87}{128} \approx \frac{740,25}{128} \approx 5,78 \text{ m}^3$. O método do paralelepípedo subestima o volume real, mas é uma estimativa prática e rápida usada no contexto do problema.

A pegadinha desta questão está em não confundir o raio médio com a média dos diâmetros, ou em esquecer de dividir o comprimento C por 4 para obter o lado do quadrado. Além disso, é comum o aluno calcular o volume do tronco de cone diretamente pela fórmula clássica, mas o enunciado pede explicitamente o volume calculado pelo método do paralelepípedo. Portanto, é fundamental seguir o passo a passo descrito no texto.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $\frac{35\pi^2}{64}$ não corresponde ao volume calculado. Esse número poderia surgir de um erro ao calcular o raio médio como a média dos diâmetros (1,5 e 1,0, resultando em 1,25) e depois usar esse valor como raio, ou de um erro na simplificação da fração. O cálculo correto leva a $\frac{75\pi^2}{128}$, que é diferente de $\frac{35\pi^2}{64} = \frac{70\pi^2}{128}$.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado no desenvolvimento, o raio médio é 0,625 m, a circunferência média é $\frac{5\pi}{4}$ m, o lado do quadrado é $\frac{5\pi}{16}$ m, e o volume do paralelepípedo é $\left(\frac{5\pi}{16}\right)^2 \cdot 6 = \frac{75\pi^2}{128}$ m³. A alternativa B reproduz exatamente esse valor.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $\frac{19\pi^2}{32}$ é equivalente a $\frac{76\pi^2}{128}$, que é muito próximo do correto, mas não igual. Esse valor pode surgir de um erro de arredondamento ou de uma simplificação incorreta. O cálculo exato resulta em $\frac{75\pi^2}{128}$, não $\frac{76\pi^2}{128}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $\frac{39\pi^2}{64}$ é equivalente a $\frac{78\pi^2}{128}$. Esse número poderia resultar de um erro ao calcular o raio médio como 0,65 m (em vez de 0,625 m) ou de um erro na multiplicação final. O valor correto é $\frac{75\pi^2}{128}$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $\frac{79\pi^2}{128}$ é próximo do correto, mas não é o resultado exato. Esse número poderia surgir de um erro de cálculo na área da base ou na multiplicação pela altura. O cálculo correto leva a $\frac{75\pi^2}{128}$.

Gabarito: letra B