Questão de Matemática — Geometria Espacial — VUNESP 2025

Volume do tronco de cone

Gabarito: letra C — o volume do tronco de cone circular reto é $\frac{19\pi}{8}\,\text{m}^3$. Aplicando a fórmula do volume do tronco de cone com altura 6 m e raios das bases 0,75 m e 0,5 m, obtemos exatamente esse valor.

O tronco de cone é o sólido que sobra quando cortamos um cone por um plano paralelo à base e removemos o cone menor. Para calcular seu volume, usamos a fórmula que envolve as áreas das duas bases e a altura:

onde $A_B$ é a área da base maior, $A_b$ é a área da base menor e $h$ é a altura. Essa fórmula é a mesma usada para o tronco de pirâmide, pois ambos são sólidos com bases paralelas e semelhantes.

No nosso caso, as bases são círculos de raios 0,75 m e 0,5 m. As áreas são:

• $A_B = \pi \cdot (0,75)^2 = \pi \cdot 0,5625 = \frac{9\pi}{16}$

• $A_b = \pi \cdot (0,5)^2 = \pi \cdot 0,25 = \frac{4\pi}{16} = \frac{\pi}{4}$

Substituindo na fórmula:

Portanto, o volume é $\frac{19\pi}{8}\,\text{m}^3$, que corresponde à alternativa C.

A pegadinha desta questão está em não confundir o volume do tronco com o volume de um cilindro de raio médio. Se o candidato calcular o volume como se fosse um cilindro com raio igual à média aritmética dos raios (0,625 m), obteria $\pi \cdot (0,625)^2 \cdot 6 = \frac{75\pi}{32} \approx 2,34\pi$, que não é o valor correto. A fórmula do tronco de cone é específica e deve ser aplicada diretamente.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\frac{21\pi}{8}$ é um valor maior que o correto. Esse número poderia surgir se o candidato somasse as áreas das bases sem considerar a média geométrica, ou se errasse ao calcular $\sqrt{A_B \cdot A_b}$. Por exemplo, se alguém fizesse $2 \cdot \left(\frac{9\pi}{16} + \frac{4\pi}{16} + \frac{6\pi}{16}\right)$ e depois somasse incorretamente $\frac{19\pi}{16} + \frac{2\pi}{16} = \frac{21\pi}{16}$, multiplicando por 2 daria $\frac{21\pi}{8}$. O erro está em adicionar um termo extra ou em calcular a média geométrica de forma errada.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{5\pi}{2} = \frac{20\pi}{8}$ é um valor próximo, mas ainda incorreto. Esse resultado poderia vir de um erro de arredondamento: se o candidato usasse $0,75^2 = 0,5625$ e $0,5^2 = 0,25$, e depois calculasse $\sqrt{0,5625 \cdot 0,25} = \sqrt{0,140625} = 0,375$, a soma seria $0,5625 + 0,25 + 0,375 = 1,1875$, multiplicado por 2 daria $2,375 = \frac{19\pi}{8}$. Mas se o candidato usasse $0,75^2 \approx 0,56$ e $0,5^2 = 0,25$, e $\sqrt{0,56 \cdot 0,25} \approx 0,374$, a soma seria $0,56 + 0,25 + 0,374 = 1,184$, vezes 2 = $2,368$, que arredondado para $2,5$ daria $\frac{5\pi}{2}$. O erro está em arredondamentos grosseiros.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o cálculo correto é:

A média geométrica das áreas é $\sqrt{\frac{9\pi}{16} \cdot \frac{4\pi}{16}} = \frac{6\pi}{16}$, e a soma das três parcelas é $\frac{19\pi}{16}$. Multiplicando por $\frac{h}{3} = 2$, obtemos $\frac{19\pi}{8}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\frac{9\pi}{4} = \frac{18\pi}{8}$ é um valor menor que o correto. Esse número poderia surgir se o candidato esquecesse de incluir a média geométrica na fórmula, calculando apenas $2 \cdot \left(\frac{9\pi}{16} + \frac{4\pi}{16}\right) = 2 \cdot \frac{13\pi}{16} = \frac{13\pi}{8}$, que não é $\frac{9\pi}{4}$. Outra possibilidade é errar na soma: $\frac{9\pi}{16} + \frac{4\pi}{16} + \frac{6\pi}{16} = \frac{19\pi}{16}$, mas se o candidato somasse apenas $\frac{9\pi}{16} + \frac{4\pi}{16} = \frac{13\pi}{16}$ e depois multiplicasse por 2, daria $\frac{13\pi}{8}$, não $\frac{9\pi}{4}$. O valor $\frac{9\pi}{4}$ poderia vir de um erro de cálculo com a média geométrica: se $\sqrt{A_B \cdot A_b} = \frac{5\pi}{16}$, a soma seria $\frac{18\pi}{16}$, vezes 2 = $\frac{9\pi}{4}$. Mas a média geométrica correta é $\frac{6\pi}{16}$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{17\pi}{8}$ é um valor menor que o correto. Esse número poderia surgir se o candidato calculasse a média geométrica como $\frac{5\pi}{16}$ em vez de $\frac{6\pi}{16}$, resultando em $2 \cdot \left(\frac{9\pi}{16} + \frac{4\pi}{16} + \frac{5\pi}{16}\right) = 2 \cdot \frac{18\pi}{16} = \frac{9\pi}{4}$, que não é $\frac{17\pi}{8}$. Outra possibilidade é errar na soma: $\frac{9\pi}{16} + \frac{4\pi}{16} + \frac{4\pi}{16} = \frac{17\pi}{16}$, vezes 2 = $\frac{17\pi}{8}$. O erro está em usar $\frac{4\pi}{16}$ como média geométrica, quando o correto é $\frac{6\pi}{16}$.

Gabarito: letra C