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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2025

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
vu219382
Banca
VUNESP
Órgão
FAMEMA
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
Em determinado dia, Verônica e Vanessa visitarão um total de 9 lojas e escolherão quais lojas cada uma delas irá visitar, de maneira que cada loja seja visitada por apenas uma delas. Uma das lojas está localizada perto da casa de Verônica; por isso, se, na divisão das lojas a serem visitadas, Verônica for visitar a loja que fica próxima à sua casa, ela visitará 6 lojas, e Vanessa visitará as outras 3 lojas. No entanto, se, nessa divisão, Verônica não for visitar a loja que está localizada perto de sua casa, Vanessa visitará 5 lojas e Verônica visitará as outras 4 lojas. O número de maneiras distintas de Verônica e Vanessa escolherem as lojas que cada uma irá visitar é
  1. A135.
  2. B108.
  3. C117.
  4. D144.
  5. E126.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 126.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 126 maneiras — alternativa E.

A ideia por trás

A análise combinatória conta de quantas formas diferentes podemos escolher ou organizar elementos. A combinação simples é usada quando escolhemos um grupo de elementos e a ordem dentro do grupo não importa: escolher as lojas A, B e C é o mesmo que escolher C, B e A. O princípio aditivo, por sua vez, diz que se uma situação pode acontecer de um jeito OU de outro jeito, e esses jeitos não podem ocorrer juntos, o total de possibilidades é a soma das possibilidades de cada jeito.

A combinação de n elementos tomados k a k é C(n,k) = n! / (k!(n-k)!). Ela conta quantos subconjuntos de tamanho k existem em um conjunto de n elementos. O princípio aditivo é a regra do 'ou': se o evento A pode ocorrer de p maneiras e o evento B de q maneiras, e A e B são mutuamente exclusivos, então o total é p + q. Aqui, os dois cenários (Verônica visitar ou não a loja perto de casa) são mutuamente exclusivos, então somamos.

Esta questão exige aplicar a combinação simples para contar as escolhas de lojas em cada cenário e depois usar o princípio aditivo para somar os resultados. O ponto-chave é perceber que a loja perto da casa de Verônica já está decidida em cada cenário, então ela não entra na combinação.

O que a questão dá

  • total de lojas = 9

  • loja perto da casa de Verônica = 1

  • se Verônica visita a loja perto de casa: ela visita 6 lojas, Vanessa 3

  • se Verônica não visita a loja perto de casa: ela visita 4 lojas, Vanessa 5

O que queremos: o número de maneiras distintas de dividir as 9 lojas entre Verônica e Vanessa

Passo 1 — Contar as escolhas quando Verônica visita a loja perto de casa

Precisamos dividir o problema em dois casos mutuamente exclusivos. No primeiro, a loja perto da casa de Verônica já está garantida para ela, então ela precisa escolher as outras 5 lojas entre as 8 restantes. A ordem não importa, então usamos combinação.

Por que esta fórmula: C(8,5) conta de quantas maneiras podemos escolher 5 lojas entre 8, sem considerar a ordem. É combinação porque a ordem das lojas escolhidas não importa.

C(8,5)=8!5!(8−5)!C(8{,}5) = \frac{8!}{5!(8-5)!}

De onde vem cada valor: 88 = enunciado: 9 lojas totais menos a loja perto de casa · 55 = enunciado: Verônica visita 6 lojas, mas uma já é a loja perto de casa, então escolhe 5

C(8,5)=8×7×63×2×1=56C(8{,}5) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \boxed{56}
NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo (8P5) porque a ordem das lojas não importa — isso daria um número muito maior.

Passo 2 — Contar as escolhas quando Verônica não visita a loja perto de casa

No segundo caso, a loja perto de casa fica automaticamente para Vanessa, então Verônica escolhe 4 lojas entre as 8 restantes. Novamente, a ordem não importa, então usamos combinação.

Por que esta fórmula: C(8,4) conta de quantas maneiras podemos escolher 4 lojas entre 8, sem considerar a ordem.

C(8,4)=8!4!(8−4)!C(8{,}4) = \frac{8!}{4!(8-4)!}

De onde vem cada valor: 88 = enunciado: 9 lojas totais menos a loja perto de casa · 44 = enunciado: Verônica visita 4 lojas

C(8,4)=8×7×6×54×3×2×1=70C(8{,}4) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \boxed{70}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a loja perto de casa já está decidida e tentar incluir 9 lojas no cálculo.

Passo 3 — Somar os dois casos

Os dois cenários são mutuamente exclusivos: ou Verônica visita a loja perto de casa, ou não. Pelo princípio aditivo, o total de maneiras é a soma das possibilidades de cada cenário.

Por que esta fórmula: O princípio aditivo diz que se um evento pode ocorrer de p maneiras ou de q maneiras, e não podem ocorrer juntos, o total é p + q.

Total=C(8,5)+C(8,4)Total = C(8{,}5) + C(8{,}4)

De onde vem cada valor: C(8,5)C(8{,}5) = passo 1: 56 · C(8,4)C(8{,}4) = passo 2: 70

Total=56+70=126Total = 56 + 70 = \boxed{126}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar 56 por 70 em vez de somar — multiplicar seria para eventos que acontecem juntos, mas aqui são alternativas.

Resposta: 126 maneiras — alternativa E

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