Questão de Matemática — Números Reais (Propriedades e Operações; Intervalos) — VUNESP 2025

Resolução da equação com substituição de variável

Gabarito: letra D — a solução real da equação é $\frac{19+\sqrt{357}}{2}$. A chave é a substituição $x = y + \frac{1}{y}$, que transforma a equação original em uma equação do 2º grau em $x$; resolvendo-a e retornando à variável $y$, obtém-se o valor indicado na alternativa D.

A ideia por trás

A estratégia de "problemas mais simples" consiste em reduzir um problema complexo a outro mais simples. Aqui, a equação original envolve $y^2 + \frac{1}{y^2}$ e $y + \frac{1}{y}$, que são expressões relacionadas. Observe que:

Assim, definindo $x = y + \frac{1}{y}$, temos $y^2 + \frac{1}{y^2} = x^2 - 2$. Substituindo na equação original:

Essa é uma equação do 2º grau em $x$. Resolvendo por Bhaskara:

Portanto, $x_1 = \frac{18+20}{2} = 19$ e $x_2 = \frac{18-20}{2} = -1$.

Agora, precisamos retornar à variável $y$. Temos duas equações:

1. $y + \frac{1}{y} = 19$

2. $y + \frac{1}{y} = -1$

Para a primeira, multiplicando por $y$ (com $y \neq 0$): $y^2 - 19y + 1 = 0$. Resolvendo:

Para a segunda, $y + \frac{1}{y} = -1 \Rightarrow y^2 + y + 1 = 0$. O discriminante é $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$, logo não há soluções reais.

Portanto, as soluções reais são $y = \frac{19 + \sqrt{357}}{2}$ e $y = \frac{19 - \sqrt{357}}{2}$. A alternativa D apresenta exatamente uma dessas soluções.

Por que as outras alternativas estão erradas

As alternativas A, B, C e E apresentam valores que não são soluções da equação. Elas foram construídas com pequenas variações nos números (18 ou 19, 356 ou 357, 355), provavelmente para testar se o candidato cometeu erros de cálculo ou de sinal. Por exemplo, a alternativa A usa 18 em vez de 19, o que corresponderia a um erro na resolução da equação do 2º grau em $x$ (usar $x = 18$ em vez de $x = 19$). A alternativa B usa 18 e 357, misturando os erros. A alternativa C usa 19 e 356, o que seria um erro no cálculo do discriminante (361 - 4 = 357, não 356). A alternativa E usa 21 e 355, números que não aparecem em nenhuma etapa correta da resolução.

A pegadinha

A banca explora a confusão entre a variável $x$ (a substituição) e a variável $y$ (a incógnita original). O candidato pode resolver a equação em $x$ e marcar a alternativa com 18, esquecendo de retornar a $y$. Ou pode errar o discriminante ao calcular $19^2 - 4$, obtendo 356 em vez de 357. É fundamental lembrar que a questão pede as soluções em $y$, não em $x$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\frac{18+\sqrt{356}}{2}$: usa 18 (que é o coeficiente de $x$ na equação do 2º grau, não a solução) e 356 (que seria o discriminante errado, pois $19^2 - 4 = 357$). Não corresponde a nenhuma solução real da equação.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{18+\sqrt{357}}{2}$: usa 18 em vez de 19, o que seria um erro ao resolver a equação em $y$ (o termo correto é 19, vindo de $y + \frac{1}{y} = 19$). O discriminante 357 está correto, mas o 18 está errado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\frac{19+\sqrt{356}}{2}$: usa 19 corretamente, mas o discriminante 356 está errado. O cálculo correto é $19^2 - 4 = 361 - 4 = 357$, não 356. Esse erro pode ocorrer se o candidato calcular $19^2$ como 360 em vez de 361.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$\frac{19+\sqrt{357}}{2}$: é exatamente uma das soluções reais da equação, obtida ao resolver $y + \frac{1}{y} = 19$. O discriminante $357$ vem de $19^2 - 4 = 361 - 4 = 357$. A outra solução real é $\frac{19-\sqrt{357}}{2}$, que não aparece nas alternativas, mas a questão pede "as soluções" e a alternativa D apresenta uma delas (a questão provavelmente considera que ambas as soluções são representadas pela mesma forma, com $\pm$).

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{21+\sqrt{355}}{2}$: usa 21 e 355, números que não aparecem em nenhuma etapa correta da resolução. Não há base algébrica para esses valores.

Gabarito: letra D