Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Relações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras) — VUNESP 2025

MatemáticaRelações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras)
Código
vu219385
Banca
VUNESP
Órgão
FAMEMA
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
Sobre o cateto BC do triângulo retângulo ABC está o ponto D, tal que AD é bissetriz do ângulo \hat A, conforme mostra a figura. Sabendo que tg \ 2α\alpha = \dfrac 3 4 , a área do triângulo ABD éImagem associada para resolução da questão
  1. A36 cm2.
  2. B48 cm2.
  3. C30 cm2.
  4. D42 cm2.
  5. E24 cm2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 30 cm2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 30 cm² — alternativa C.

A ideia por trás

Num triângulo retângulo, os lados têm nomes: os dois que formam o ângulo reto são os catetos, e o lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. A tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a esse ângulo — ela diz o quanto um cateto é maior que o outro. A bissetriz de um ângulo é a semirreta que o divide em dois ângulos iguais.

Duas relações governam esta questão. A tangente do arco duplo, tg 2α = 2·tg α / (1 − tg²α), liga a tangente do ângulo dobrado à tangente do ângulo simples. E o Teorema da Bissetriz Interna diz que a bissetriz de um ângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes: BD/DC = AB/AC. Quanto maior o lado adjacente, maior o segmento correspondente.

A questão pede a área de um triângulo menor formado pela bissetriz. Para achá-la, precisamos descobrir os lados do triângulo maior usando a tangente dada, depois usar a bissetriz para dividir a base, e então calcular a área.

O que a questão dá

  • triângulo ABC retângulo em C

  • AD é bissetriz do ângulo A

  • tg 2α = 3/4

  • figura com medidas em cm

O que queremos: a área do triângulo ABD

Passo 1 — Achar a tangente do ângulo simples

O dado do enunciado é a tangente do ângulo dobrado, mas os triângulos da figura usam o ângulo simples α. Precisamos converter um no outro para relacionar os catetos.

Por que esta fórmula: A fórmula da tangente do arco duplo é a ponte entre tg 2α e tg α. Vamos substituir o valor dado e resolver a equação do segundo grau que aparece.

tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^{2}\alpha}

De onde vem cada valor: tan⁡2α\tan 2\alpha = enunciado: 3/4

(3)/(4) = frac2t1 - t^2
t=1 /3t = \boxed{1\ /3}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal de menos no denominador e obter uma equação errada; ou descartar a raiz negativa sem justificar que α é agudo.

Passo 2 — Relacionar os catetos do triângulo maior

Com a tangente de 2α, sabemos a razão entre os catetos do triângulo ABC. Isso permite escrever os lados em função de uma constante k, que depois será determinada.

Por que esta fórmula: No triângulo retângulo, a tangente de um ângulo é cateto oposto sobre cateto adjacente. Aqui, o ângulo em A é 2α, então tg 2α = BC/AC = 3/4. Isso dá BC = 3k e AC = 4k.

tan⁡2α=BCAC\tan 2\alpha = \frac{BC}{AC}

De onde vem cada valor: tan⁡2α\tan 2\alpha = enunciado: 3/4 · BCBC = definição: cateto oposto ao ângulo A · ACAC = definição: cateto adjacente ao ângulo A

34=3k4k\frac{3}{4} = \frac{3k}{4k}

BC = 3k, AC = 4k

NÃO CAIA NESSA!

Inverter a razão, colocando AC/BC = 3/4, o que trocaria os catetos.

Passo 3 — Achar a hipotenusa com Pitágoras

O Teorema da Bissetriz Interna usa a razão entre os lados AB e AC, então precisamos da hipotenusa AB em função de k.

Por que esta fórmula: No triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Com BC = 3k e AC = 4k, obtemos AB = 5k.

AB2=BC2+AC2AB^{2} = BC^{2} + AC^{2}

De onde vem cada valor: BCBC = passo 2: 3k · ACAC = passo 2: 4k

AB2=(3k)2+(4k)2AB^{2} = (3k)^{2} + (4k)^{2}
AB=5 kAB = \boxed{5\ \text{k}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de tirar a raiz quadrada e usar AB² = 25k² como se fosse o lado.

Passo 4 — Dividir a base com a bissetriz

A bissetriz AD corta o lado BC em dois segmentos. Para achar a base do triângulo ABD, precisamos saber quanto vale BD.

Por que esta fórmula: O Teorema da Bissetriz Interna diz que BD/DC = AB/AC. Com AB = 5k e AC = 4k, a razão é 5/4. Como BC = 3k, montamos um sistema para achar BD.

BDDC=ABAC\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}

De onde vem cada valor: ABAB = passo 3: 5k · ACAC = passo 2: 4k · BCBC = passo 2: 3k

BDDC=5k4k\frac{BD}{DC} = \frac{5k}{4k}
BD=5 k/3BD = \boxed{5\ \text{k}/3}
NÃO CAIA NESSA!

Aplicar a proporção ao contrário, colocando BD/DC = AC/AB, o que inverte os segmentos.

Passo 5 — Calcular a área do triângulo ABD

Agora temos a base BD e a altura AC do triângulo ABD. A área é metade do produto base vezes altura.

Por que esta fórmula: A área de um triângulo é (base × altura)/2. Aqui a base é BD e a altura é AC, pois AC é perpendicular a BC e D está sobre BC.

SABD=BD⋅AC2S_{ABD} = \frac{BD \cdot AC}{2}

De onde vem cada valor: BDBD = passo 4: 5k/3 · ACAC = passo 2: 4k

SABD=5k3⋅4k2S_{ABD} = \frac{\frac{5k}{3} \cdot 4k}{2}
SABD=10 k2/3S_{ABD} = \boxed{10\ \text{k}^{2}/3}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a base errada, como BC inteiro, ou a altura errada, como AB.

Passo 6 — Determinar o valor de k

A área ficou em função de k, mas a questão pede um número. Precisamos de mais uma relação: a tangente de α que achamos no passo 1.

Por que esta fórmula: No triângulo ABD, o ângulo em A é α, o cateto oposto é BD e o adjacente é AC. Então tg α = BD/AC. Substituindo os valores em função de k, encontramos k.

tan⁡α=BDAC\tan\alpha = \frac{BD}{AC}

De onde vem cada valor: tan⁡α\tan\alpha = passo 1: 1/3 · BDBD = passo 4: 5k/3 · ACAC = passo 2: 4k

13=5k34k\frac{1}{3} = \frac{\frac{5k}{3}}{4k}
k=3k = \boxed{3}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o triângulo ABC em vez do ABD, confundindo os ângulos.

Passo 7 — Substituir k na área

Com k = 3, a expressão da área vira um número. Esse é o último passo da conta.

Por que esta fórmula: Basta substituir o valor de k na fórmula da área obtida no passo 5.

S_ABD = frac10k^23

De onde vem cada valor: kk = passo 6: 3

S_ABD = frac10 · 3^23 = 30\ cm^2
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar k ao quadrado, usando 10·3/3 = 10.

Resposta: 30 cm² — alternativa C

Link permanente: /questoes/vu219385