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Questão de Matemática — Proporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais — VUNESP 2025

MatemáticaProporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais
Código
vu219386
Banca
VUNESP
Órgão
FAMEMA
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
Marta e Érica jogam em times de futebol diferentes e são as capitãs de seus respectivos times. No campeonato passado, o total de gols marcados pelas jogadoras dos times dessas duas capitãs, incluindo os gols marcados pelas próprias capitãs, foi igual a 81. Considerando o time de Marta, a razão entre o número de gols que ela fez e o número de gols marcados pelas demais jogadoras de seu time foi igual a \dfrac 1 3. Considerando o time de Érica, a razão entre o número de gols que ela fez e o número de gols marcados pelas demais jogadoras de seu time foi igual a \dfrac 2 5. Sabendo que Marta e Érica, juntas, marcaram um total de 22 gols no campeonato passado, o total de gols marcados por Marta foi
  1. A8.
  2. B9.
  3. C11.
  4. D14.
  5. E16.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 8.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a Marta marcou 8 gols — alternativa A.

A ideia por trás

Razão é uma divisão entre duas grandezas. Quando dizemos que a razão entre os gols de Marta e os das demais é 1/3, significa que para cada gol de Marta as companheiras marcaram 3. Isso permite transformar a razão em uma relação de partes: o time de Marta tem 1 parte de Marta e 3 partes das demais, totalizando 4 partes.

Se a razão é a/b, então o total de partes é a+b. Assim, se Marta tem razão 1/3, o total do time dela é 4 vezes os gols dela. Para Érica, razão 2/5, o total do time dela é (2+5)/2 = 7/2 vezes os gols dela. Essas relações permitem montar equações que ligam os gols das capitãs aos totais dos times.

Esta questão combina duas razões com dois totais (81 e 22) para montar um sistema de equações. O passo crucial é traduzir cada razão em uma expressão para o total de gols do time em função dos gols da capitã.

O que a questão dá

  • total de gols dos dois times = 81

  • razão Marta/demais do time de Marta = 1/3

  • razão Érica/demais do time de Érica = 2/5

  • soma dos gols de Marta e Érica = 22

O que queremos: o total de gols marcados por Marta

Passo 1 — Expressar o total do time de Marta

Precisamos relacionar os gols de Marta com o total do time dela. A razão 1/3 diz que para cada gol de Marta, as demais marcam 3, então o time inteiro tem 1+3 = 4 partes, cada parte valendo os gols de Marta.

Por que esta fórmula: Se a razão é M : D = 1 : 3, então D = 3M. O total do time é M + D = M + 3M = 4M.

TMarta=4MT_{Marta} = 4M

De onde vem cada valor: MM = definição: gols de Marta (incógnita) · 44 = constante: 1 (Marta) + 3 (demais) da razão 1/3

TMarta=4M=4 MT_{Marta} = 4M = \boxed{4\ \text{M}}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a razão: achar que as demais marcaram 1/3 dos gols de Marta, o que daria T = M + M/3 = 4M/3.

Passo 2 — Expressar o total do time de Érica

O mesmo raciocínio vale para o time de Érica, mas a razão é 2/5. Precisamos de uma expressão para o total do time dela em função dos gols dela, para podermos somar com o total do time de Marta.

Por que esta fórmula: Com razão E : D = 2 : 5, temos D = (5/2)E. O total é E + D = E + (5/2)E = (7/2)E.

TEˊrica=72ET_{Érica} = \frac{7}{2}E

De onde vem cada valor: EE = definição: gols de Érica (incógnita) · 72\frac{7}{2} = constante: (2+5)/2 da razão 2/5

TEˊrica=72E=(7/2)ET_{Érica} = \frac{7}{2}E = \boxed{(7/2)\text{E}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2, achando que o total é 7E.

Passo 3 — Montar o sistema de equações

Temos duas incógnitas (M e E) e duas informações independentes: a soma dos totais dos times é 81 e a soma dos gols das capitãs é 22. Isso gera um sistema que permite achar M.

Por que esta fórmula: A primeira equação vem da soma dos totais: T_Marta + T_Érica = 81. A segunda vem da soma das capitãs: M + E = 22.

{4M+72E=81M+E=22\begin{cases} 4M + \frac{7}{2}E = 81 \\ M + E = 22 \end{cases}

De onde vem cada valor: 4M4M = passo 1 · 72E\frac{7}{2}E = passo 2 · 8181 = enunciado: total de gols dos dois times · 2222 = enunciado: soma dos gols de Marta e Érica

{4M+72E=81M+E=22\begin{cases} 4M + \frac{7}{2}E = 81 \\ M + E = 22 \end{cases}

sistema montado

NÃO CAIA NESSA!

Usar 81 como soma dos gols das capitãs e 22 como total dos times, trocando os papéis.

Passo 4 — Isolar E na segunda equação

Para resolver o sistema, o caminho mais direto é expressar E em função de M e substituir na primeira equação, transformando-a em uma equação só com M.

Por que esta fórmula: Da equação M + E = 22, subtraímos M dos dois lados: E = 22 - M.

E=22−ME = 22 - M

De onde vem cada valor: 2222 = enunciado: soma dos gols de Marta e Érica · MM = definição: gols de Marta

E=22−ME = 22 - M
E=22 −ME = \boxed{22\ - \text{M}}
NÃO CAIA NESSA!

Isolar M em vez de E, o que também funciona, mas pode confundir na substituição.

Passo 5 — Substituir E na primeira equação

Com E expresso em função de M, a primeira equação fica com uma única incógnita. Agora é só álgebra para achar M.

Por que esta fórmula: Substituímos E = 22 - M em 4M + (7/2)E = 81.

4M+72(22−M)=814M + \frac{7}{2}(22 - M) = 81

De onde vem cada valor: 4M4M = passo 1 · 72\frac{7}{2} = passo 2 · 22−M22 - M = passo 4 · 8181 = enunciado

4M+72(22−M)=81=equac\ca~ocomumaincoˊgnita4M + \frac{7}{2}(22 - M) = 81 = \boxed{\text{equa}çã\text{o} \text{com} \text{uma} \text{inc}ó\text{gnita}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar o 7/2 por ambos os termos dentro do parêntese.

Passo 6 — Eliminar a fração multiplicando por 2

A fração 7/2 atrapalha a resolução. Multiplicar toda a equação por 2 a transforma em uma equação com números inteiros, mais fácil de resolver.

Por que esta fórmula: Multiplicar ambos os lados por 2 mantém a igualdade e elimina o denominador.

8M+7(22−M)=1628M + 7(22 - M) = 162

De onde vem cada valor: 8M8M = passo 5: 2 × 4M · 7(22−M)7(22 - M) = passo 5: 2 × (7/2)(22 - M) · 162162 = passo 5: 2 × 81

8M+7(22−M)=1628M + 7(22 - M) = 162
8M+154−7M=1628M + 154 - 7M = \boxed{162}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar apenas um lado da equação, quebrando a igualdade.

Passo 7 — Resolver a equação para M

Agora é só simplificar: juntar os termos com M e isolar M para achar o número de gols de Marta.

Por que esta fórmula: 8M - 7M = M, e 154 passa para o outro lado subtraindo.

M=162−154M = 162 - 154

De onde vem cada valor: 162162 = passo 6 · 154154 = passo 6: 7 × 22

M=162−154M = 162 - 154
M=8M = \boxed{8}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao passar 154 para o outro lado, obtendo M = 316.

Resposta: Marta marcou 8 gols — alternativa A

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