Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — VUNESP 2025

MatemáticaFunção de Segundo Grau
Código
vu219387
Banca
VUNESP
Órgão
FAMEMA
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
Considere as funções quadráticas f(x) = mx2 + 24x e g(x) = nx2 - 8x, em que m e n são constantes reais. Os dois zeros das funções f e g são iguais, e os vértices C e D das respectivas parábolas têm abscissa 3, como mostram os gráficos dessas funções. O segmento CD medeImagem associada para resolução da questão
  1. A32.
  2. B40.
  3. C48.
  4. D24.
  5. E16.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 48.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 48 — alternativa C.

A ideia por trás

Uma função quadrática f(x) = ax² + bx + c desenha uma parábola. O vértice é o ponto mais alto (se a < 0) ou mais baixo (se a > 0) da curva, e a reta vertical que passa por ele é o eixo de simetria: a parábola é espelhada em torno dela. As raízes (zeros) são os pontos onde a curva cruza o eixo x, e o vértice fica exatamente no meio delas.

A abscissa do vértice é dada por x_v = -b/(2a). Ela depende apenas dos coeficientes a e b, não do termo c. A ordenada do vértice é o valor da função nesse ponto: y_v = f(x_v). Se duas parábolas têm o mesmo eixo de simetria (mesmo x_v) e as mesmas raízes, elas são simétricas em relação a esse eixo, mas podem estar em alturas diferentes — uma para cima, outra para baixo.

Aqui, as duas parábolas têm o mesmo x_v = 3, então o segmento CD é vertical. Precisamos achar os coeficientes m e n usando a fórmula do vértice, calcular as ordenadas dos vértices e subtraí-las.

O que a questão dá

  • f(x) = mx² + 24x

  • g(x) = nx² - 8x

  • abscissa do vértice de ambas = 3

  • zeros de f e g são iguais

O que queremos: a medida do segmento CD, onde C e D são os vértices das parábolas

Passo 1 — Achar o coeficiente m de f

O vértice de f tem abscissa 3, e a fórmula x_v = -b/(2a) liga essa abscissa aos coeficientes. Como conhecemos b = 24 e x_v = 3, podemos isolar m.

Por que esta fórmula: A abscissa do vértice de uma parábola é sempre -b/(2a). É uma propriedade da função quadrática, deduzida completando quadrados.

xv=−b2ax_v = -\frac{b}{2a}

De onde vem cada valor: xvx_v = enunciado: 3 · bb = enunciado: 24 · aa = enunciado: m

3=−242m3 = -\frac{24}{2m}
m=−4m = \boxed{-4}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal: como b é positivo, m deve ser negativo para x_v ser positivo.

Passo 2 — Achar o coeficiente n de g

O mesmo raciocínio vale para g: a abscissa do vértice é 3, e agora b = -8.

Por que esta fórmula: Mesma fórmula do vértice, aplicada à função g.

xv=−b2ax_v = -\frac{b}{2a}

De onde vem cada valor: xvx_v = enunciado: 3 · bb = enunciado: -8 · aa = enunciado: n

3=−−82n3 = -\frac{-8}{2n}
n=43n = \boxed{\frac{4}{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal de menos na fórmula, o que daria n = -4/3.

Passo 3 — Calcular a ordenada do vértice de f

Com m = -4, temos a função completa f(x) = -4x² + 24x. A ordenada do vértice é o valor da função em x = 3.

Por que esta fórmula: O vértice é um ponto da parábola, então suas coordenadas são (x_v, f(x_v)).

yv=f(xv)y_v = f(x_v)

De onde vem cada valor: yvy_v = definição: ordenada do vértice · ff = passo 1: f(x) = -4x² + 24x · xvx_v = enunciado: 3

yv=−4⋅32+24⋅3=36y_v = -4 \cdot 3^{2} + 24 \cdot 3 = \boxed{36}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a potência: 3² = 9, não 6.

Passo 4 — Calcular a ordenada do vértice de g

Com n = 4/3, temos g(x) = (4/3)x² - 8x. A ordenada do vértice é g(3).

Por que esta fórmula: Mesmo princípio: o vértice é um ponto da parábola.

yv=g(xv)y_v = g(x_v)

De onde vem cada valor: yvy_v = definição: ordenada do vértice · gg = passo 2: g(x) = (4/3)x² - 8x · xvx_v = enunciado: 3

yv=43⋅32−8⋅3=−12y_v = \frac{4}{3} \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 = \boxed{-12}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a fração: (4/3)·9 = 12, não 4.

Passo 5 — Calcular a distância entre os vértices

Os vértices têm a mesma abscissa (3), então o segmento CD é vertical. A distância é a diferença entre as ordenadas, em valor absoluto.

Por que esta fórmula: A distância entre dois pontos na mesma vertical é a diferença entre suas coordenadas y.

CD=∣yC−yD∣CD = |y_C - y_D|

De onde vem cada valor: yCy_C = passo 3: 36 · yDy_D = passo 4: -12

CD=∣36−(−12)∣=48CD = |36 - (-12)| = \boxed{48}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal de menos e fazer 36 - 12 = 24, que é a alternativa D.

Resposta: 48 — alternativa C

Link permanente: /questoes/vu219387