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Questão de Matemática — Congruência e Semelhança de Triângulos. Razão de Semelhança. — VUNESP 2025

MatemáticaCongruência e Semelhança de Triângulos. Razão de Semelhança.
Código
vu219388
Banca
VUNESP
Órgão
FAMEMA
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
A hipotenusa de um triângulo retângulo que possui um dos catetos medindo 2 cm está sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 8 cm e 12 cm, conforme mostra a figura. Sabendo que esses dois triângulos são semelhantes, a área da região destacada em cinza na figura éImagem associada para resolução da questão
  1. A45 cm2.
  2. B36 cm2.
  3. C32 cm2.
  4. D39 cm2.
  5. E42 cm2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 45 cm2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 45 cm² — alternativa A.

A ideia por trás

Dois triângulos são semelhantes quando têm os três ângulos iguais e os lados correspondentes proporcionais. Para triângulos retângulos, basta que um ângulo agudo seja igual, pois o ângulo reto já é comum. A razão de semelhança k é o número que multiplica cada lado de um triângulo para obter o lado correspondente do outro.

A propriedade central é a razão entre áreas: se dois triângulos são semelhantes com razão k, então a razão entre suas áreas é k². Isso acontece porque a área é bidimensional — ao multiplicar os lados por k, a base e a altura são ambas multiplicadas por k, então a área (base × altura / 2) fica multiplicada por k × k = k². Por isso, se um triângulo tem lados 4 vezes menores, sua área é 16 vezes menor, não 4 vezes.

Esta questão pede a área da região cinza, que é a diferença entre as áreas dos dois triângulos. Para isso, precisamos descobrir a razão de semelhança entre eles e aplicar a propriedade de que a razão entre áreas é o quadrado da razão de semelhança.

O que a questão dá

  • catetos do triângulo maior: 8 cm e 12 cm

  • um cateto do triângulo menor: 2 cm

  • os dois triângulos são semelhantes

O que queremos: a área da região cinza, que é a diferença entre as áreas dos dois triângulos

Passo 1 — Calcular a hipotenusa do triângulo maior

Precisamos conhecer os lados do triângulo maior para depois comparar com o menor. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e o Teorema de Pitágoras relaciona os catetos com a hipotenusa.

Por que esta fórmula: Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Essa é a relação fundamental que permite achar o terceiro lado quando conhecemos os outros dois.

H = √(8^2 + 12^2)

De onde vem cada valor: 88 = enunciado: cateto do triângulo maior · 1212 = enunciado: outro cateto do triângulo maior

H=64+144=208=4 √13cmH = \sqrt{64 + 144} = \sqrt{208} = \boxed{4\ √13 \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar os quadrados antes de tirar a raiz, ou errar a soma 64+144=208.

Passo 2 — Calcular a área do triângulo maior

A área do triângulo maior é a base para calcular a área do menor e a diferença. Como temos os dois catetos, que são base e altura, a área é direta.

Por que esta fórmula: A área de um triângulo é metade do produto da base pela altura. No triângulo retângulo, os catetos são perpendiculares, então um pode ser a base e o outro a altura.

Amaior=8×122A_{maior} = \frac{8 \times 12}{2}

De onde vem cada valor: 88 = enunciado: cateto do triângulo maior · 1212 = enunciado: outro cateto do triângulo maior

Amaior=962=48 cm2A_{maior} = \frac{96}{2} = \boxed{48\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2, obtendo 96 cm².

Passo 3 — Descobrir a razão de semelhança

Para relacionar as áreas, precisamos saber quanto o triângulo menor é menor que o maior. A razão de semelhança k é a proporção entre lados correspondentes. O cateto de 2 cm do triângulo menor pode corresponder ao cateto de 8 cm ou ao de 12 cm do maior; precisamos testar qual faz sentido com as alternativas.

Por que esta fórmula: A razão de semelhança é a divisão entre um lado do triângulo menor e o lado correspondente do maior. Como não sabemos qual é a correspondência, testamos as duas possibilidades.

k=28 ou k=212k = \frac{2}{8} \text{ ou } k = \frac{2}{12}

De onde vem cada valor: 22 = enunciado: cateto do triângulo menor · 88 = enunciado: cateto do triângulo maior · 1212 = enunciado: outro cateto do triângulo maior

k=14 ou k=16k = \frac{1}{4} \text{ ou } k = \frac{1}{6}

k = 1/4 ou k = 1/6

NÃO CAIA NESSA!

Assumir uma correspondência sem verificar se o resultado bate com as alternativas.

Passo 4 — Calcular a área do triângulo menor

Com a razão de semelhança, podemos achar a área do triângulo menor. A propriedade é que a razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança.

Por que esta fórmula: Se os lados são multiplicados por k, a área é multiplicada por k². Então a área do menor é a área do maior vezes k².

Amenor=Amaior×k2A_{menor} = A_{maior} \times k^{2}

De onde vem cada valor: AmaiorA_{maior} = passo 2: 48 cm² · kk = passo 3: 1/4 ou 1/6

Amenor=48×(14)2=48×116=3A_{menor} = 48 \times \left(\frac{1}{4}\right)^{2} = 48 \times \frac{1}{16} = 3
3cm2(parak=1 /4)3 cm^{2} (para k = \boxed{1\ /4)}
NÃO CAIA NESSA!

Usar k em vez de k², obtendo 12 cm².

Passo 5 — Calcular a área da região cinza

A região cinza é a parte do triângulo maior que sobra depois de retirar o triângulo menor. Como o menor está sobre o maior, a área cinza é a diferença entre as áreas.

Por que esta fórmula: A área da região cinza é a área do triângulo maior menos a área do triângulo menor.

Acinza=Amaior−AmenorA_{cinza} = A_{maior} - A_{menor}

De onde vem cada valor: AmaiorA_{maior} = passo 2: 48 cm² · AmenorA_{menor} = passo 4: 3 cm²

Acinza=48−3=45 cm2A_{cinza} = 48 - 3 = \boxed{45\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar as áreas em vez de subtrair, ou usar a outra razão (1/6) que daria 46,67 cm², fora das alternativas.

Resposta: 45 cm² — alternativa A

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