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Questão de Matemática — Geometria Espacial — VUNESP 2025

MatemáticaGeometria Espacial
Código
vu219389
Banca
VUNESP
Órgão
FAMEMA
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
Uma caixa tem o formato de um paralelepípedo retorretângulo e seu volume é igual a 189 cm3. A base dessa caixa é um retângulo em que uma das arestas mede o triplo da outra e, em relação a essa base, a altura da caixa mede 7 cm.   A área total da superfície dessa caixa é
  1. A210 cm2.
  2. B242 cm2.
  3. C202 cm2.
  4. D238 cm2.
  5. E222 cm2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 222 cm2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 222 cm² — alternativa E.

A ideia por trás

Um paralelepípedo retorretângulo é um sólido com seis faces retangulares, como uma caixa de sapatos. Ele tem três dimensões: comprimento, largura e altura. O volume mede o espaço interno, em cm³, e a área total mede a superfície externa, em cm².

O volume é o produto das três dimensões: V = a·b·c. A área total é a soma das áreas das seis faces, que vêm em pares iguais: A_t = 2ab + 2ac + 2bc. Se uma dimensão aumenta, o volume e a área crescem, mas de formas diferentes: o volume cresce com o produto, a área com a soma dos produtos.

Esta questão fornece o volume e a altura, e pede a área total. Precisamos primeiro descobrir as dimensões da base usando o volume, e depois aplicar a fórmula da área total.

O que a questão dá

  • volume = 189 cm³

  • altura = 7 cm

  • uma aresta da base = triplo da outra

O que queremos: a área total da superfície da caixa

Passo 1 — Achar a área da base

O volume é o produto da área da base pela altura. Como conhecemos o volume e a altura, podemos isolar a área da base, que é o primeiro passo para descobrir as dimensões.

Por que esta fórmula: V = A_base · altura é a fórmula do volume de qualquer prisma, e o paralelepípedo é um prisma de base retangular.

Abase=VcA_{base} = \frac{V}{c}

De onde vem cada valor: VV = enunciado: 189 cm³ · cc = enunciado: 7 cm

Abase=1897=27 cm2A_{base} = \frac{189}{7} = \boxed{27\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar 189 por 7 em vez de dividir, obtendo 1323 cm².

Passo 2 — Descobrir as dimensões da base

A base é um retângulo, e sabemos que uma aresta é o triplo da outra. Com a área da base, podemos montar uma equação para encontrar essas medidas.

Por que esta fórmula: Se a menor aresta é x, a maior é 3x. A área do retângulo é o produto das arestas, então x·3x = 3x² = A_base.

3x2=Abase3x^{2} = A_{base}

De onde vem cada valor: AbaseA_{base} = passo 1: 27 cm²

3x2=273x^{2} = 27

x = 3 cm, 3x = 9 cm

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o fator 3 e resolver x² = 27, obtendo x ≈ 5,2 cm.

Passo 3 — Calcular a área total

Agora temos as três dimensões do paralelepípedo: 3 cm, 9 cm e 7 cm. A área total é a soma das áreas de todas as seis faces, que vêm em pares iguais.

Por que esta fórmula: A_t = 2(ab + ac + bc) soma as áreas dos três pares de faces opostas: base/topo, frente/trás e laterais.

At=2(ab+ac+bc)A_t = 2(ab + ac + bc)

De onde vem cada valor: aa = passo 2: 3 cm · bb = passo 2: 9 cm · cc = enunciado: 7 cm

At=2(3×9+3×7+9×7)=222 cm2A_t = 2(3 \times 9 + 3 \times 7 + 9 \times 7) = \boxed{222\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 2, obtendo 111 cm².

Resposta: 222 cm² — alternativa E

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