Questão de Matemática — Expressões Algébricas — VUNESP 2025

Razão áurea e equação do 2º grau

Gabarito: letra C. A razão áurea é o valor positivo de $\frac{x}{a}$ que satisfaz a proporção $\frac{x}{a} = \frac{a}{x-a}$ (considerando que $CB = x - a$), o que leva à equação $r^2 - r - 1 = 0$, cuja raiz positiva é $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ — exatamente a alternativa C.

A questão apresenta a definição clássica da razão áurea: um segmento $AB$ de medida $x$ é dividido pelo ponto $C$ em dois segmentos, $AC = a$ e $CB = x - a$, de modo que a razão entre o todo e a parte maior seja igual à razão entre a parte maior e a parte menor. Essa proporção é a base do número de ouro, um conceito que aparece em diversas áreas, da arte à matemática.

Para resolver, vamos chamar a razão procurada de $r = \frac{x}{a}$. Como $CB = x - a$, a proporção dada no enunciado pode ser escrita como:

Substituindo $x = r \cdot a$, temos:

Multiplicando em cruz:

Aplicando a fórmula de Bhaskara:

Como a razão áurea é um valor positivo (e $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ é negativo), a resposta é:

A pegadinha da questão está em dois pontos: primeiro, muitos candidatos podem tentar resolver a proporção como se fosse $\frac{x}{a} = \frac{a}{x}$, o que levaria a $x^2 = a^2$ e, portanto, $x = a$, o que não faz sentido no contexto da divisão áurea. Segundo, é comum esquecer que $CB = x - a$ e tentar usar $CB = a$, o que também não gera a equação correta. A banca explora exatamente essa confusão entre o segmento total e as partes.

Outra armadilha é a raiz negativa: a equação do 2º grau tem duas soluções, mas apenas a positiva é a razão áurea. A alternativa E apresenta justamente a raiz negativa, tentando induzir o candidato a marcá-la sem verificar o sinal.

Guarde o passo a passo: identificar as partes do segmento, montar a proporção correta, substituir a razão por uma variável, resolver a equação quadrática e escolher a raiz positiva. É exatamente esse critério que separa as alternativas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$ não é a solução da equação $r^2 - r - 1 = 0$. Esse valor não corresponde a nenhuma raiz da equação e não tem relação com a razão áurea. O candidato pode ter errado ao montar a equação ou ao aplicar a fórmula de Bhaskara, trocando o coeficiente de $r$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ também não é raiz da equação. Esse valor parece plausível por ter a mesma estrutura da resposta correta, mas o coeficiente de $r$ na equação é $-1$, e não $-3$. A banca usa esse distrator para confundir quem não resolve a equação com cuidado.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ é exatamente a raiz positiva da equação $r^2 - r - 1 = 0$, que deriva da proporção áurea. É o valor clássico do número de ouro, aproximadamente 1,618.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\frac{\sqrt{5}}{2}$ é um valor que aparece no desenvolvimento da fórmula de Bhaskara, mas não é a solução final. O candidato pode ter parado no meio do cálculo, sem completar a soma com 1 e a divisão por 2.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ é a raiz negativa da equação. Como a razão áurea é definida como um valor positivo, essa alternativa é incorreta. A banca a inclui para testar se o candidato verifica o sinal da solução.

Gabarito: letra C