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Questão de Matemática — Função Exponencial e Inequações Exponenciais — VUNESP 2025

MatemáticaFunção Exponencial e Inequações Exponenciais
Código
vu219391
Banca
VUNESP
Órgão
FAMEMA
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
Em certa região de uma cidade, o valor V(t) de um imóvel, em dezenas de milhares de reais, t anos após ter sido adquirido (t > 0), é modelado pela função V(t) = C + 7 ⋅ 4^{-(t−5)24\frac{(t-5)^2} {4}}, sendo C o valor, em dezenas de milhares de reais, pelo qual o imóvel foi adquirido. De acordo com esse modelo, um imóvel nessa região, que foi adquirido em 2010, valia R$ 170.000,00 em 2015, ou seja, 5 anos depois. Nessas condições, em 2017, esse imóvel valia
  1. AR$ 177.000,00.
  2. BR$ 143.500,00.
  3. CR$ 180.500,00.
  4. DR$ 117.500,00.
  5. ER$ 110.000,00.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — R$ 117.500,00.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a R$ 117.500,00 — alternativa D.

A ideia por trás

A função exponencial é aquela em que a incógnita aparece no expoente, com base positiva e diferente de 1. Aqui ela modela o valor de um imóvel ao longo do tempo: o termo exponencial tem base 4, mas o expoente é negativo quando t ≠ 5, fazendo o valor decrescer à medida que t se afasta de 5. Isso cria um pico de valorização em t = 5, seguido de desvalorização.

A função é V(t) = C + 7·4^(-(t-5)²/4). O termo exponencial vale 1 quando o expoente é zero, ou seja, em t = 5. Para t > 5, o expoente fica negativo, e 4 elevado a um número negativo é uma fração menor que 1, então o valor total diminui. A constante C é o valor inicial de aquisição, e o 7 é um fator que ajusta a variação.

Esta questão cobra dois passos: primeiro, usar o dado de 2015 para descobrir C, já que ali o expoente zera; depois, aplicar a função para t = 7, lembrando de converter a unidade de dezenas de milhares para reais no final.

O que a questão dá

  • função: V(t) = C + 7 · 4^(-(t-5)²/4)

  • V(t) em dezenas de milhares de reais

  • imóvel adquirido em 2010

  • em 2015 (t = 5) valia R$ 170.000,00

  • queremos o valor em 2017 (t = 7)

O que queremos: o valor do imóvel em 2017, em reais

Passo 1 — Converter o valor de 2015 para dezenas de milhares

A função V(t) trabalha com dezenas de milhares de reais, mas o enunciado dá o valor em reais. Para usar a fórmula, precisamos que o número esteja na mesma unidade. Como 1 dezena de milhar = R$ 10.000, dividimos o valor em reais por 10.000.

Por que esta fórmula: A conversão é direta: valor em dezenas de milhares = valor em reais ÷ 10.000.

Vdez=Vreais10000V_{dez} = \frac{V_{reais}}{10000}

De onde vem cada valor: VreaisV_{reais} = enunciado: R$ 170.000,00 · 1000010000 = constante: 1 dezena de milhar = R$ 10.000

Vdez=17000010000=17 dezenasdemilharesV_{dez} = \frac{170000}{10000} = \boxed{17\ \text{dezenas} \text{de} \text{milhares}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir e usar 170.000 na função, o que daria um valor absurdo.

Passo 2 — Descobrir o valor de aquisição C

Em 2015, t = 5, e o expoente (t-5)²/4 vale zero. Qualquer número elevado a zero é 1, então a exponencial vira 1. Isso simplifica a função e permite achar C diretamente, pois conhecemos V(5).

Por que esta fórmula: Substituímos t = 5 na função: V(5) = C + 7·4⁰ = C + 7. Como V(5) = 17, temos C + 7 = 17, logo C = 10.

V(5)=C+7⋅40V(5) = C + 7 \cdot 4^{0}

De onde vem cada valor: V(5)V(5) = passo 1: 17 · 77 = enunciado: coeficiente da exponencial · 404^{0} = definição: qualquer número elevado a zero é 1

17=C+7⋅117 = C + 7 \cdot 1
C = 10\ dezenas de milhares (R$ 100.000,00)
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que 4⁰ = 1 e tentar calcular 4 elevado a algo, complicando a conta.

Passo 3 — Calcular o expoente para t = 7

Em 2017, t = 7 (2017 - 2010). Precisamos do valor do expoente para substituir na função. O expoente é -(t-5)²/4, então calculamos com t = 7.

Por que esta fórmula: A fórmula do expoente é dada no enunciado: -(t-5)²/4. Substituímos t por 7.

expoente = -frac(t-5)^24

De onde vem cada valor: tt = enunciado: 7 (2017 - 2010)

expoente = -frac(7-5)^24 = -(4)/(4) = -1 = -1
NÃO CAIA NESSA!

Errar a ordem das operações: calcular (7-5)² = 4 e esquecer de dividir por 4, obtendo -4.

Passo 4 — Aplicar a função para t = 7

Agora temos todos os valores: C = 10, t = 7 e o expoente = -1. Substituímos na função para achar V(7).

Por que esta fórmula: Usamos a função original V(t) = C + 7·4^(expoente). Com expoente -1, 4⁻¹ = 1/4.

V(7)=C+7⋅4−1V(7) = C + 7 \cdot 4^{-1}

De onde vem cada valor: CC = passo 2: 10 · 77 = enunciado: coeficiente · 4−14^{-1} = passo 3: expoente -1

V(7)=10+7⋅14=10+1,75=11,75=11,75 dezenasdemilharesV(7) = 10 + 7 \cdot \frac{1}{4} = 10 + 1{,}75 = 11{,}75 = \boxed{11{,}75\ \text{dezenas} \text{de} \text{milhares}}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular 4⁻¹ como -4 em vez de 1/4.

Passo 5 — Converter o resultado para reais

A questão pede o valor em reais, mas a função retorna em dezenas de milhares. Para converter, multiplicamos por 10.000.

Por que esta fórmula: 1 dezena de milhar = R$ 10.000, então multiplicamos o valor em dezenas de milhares por 10.000.

Vreais=Vdez×10000V_{reais} = V_{dez} \times 10000

De onde vem cada valor: VdezV_{dez} = passo 4: 11,75 · 1000010000 = constante: 1 dezena de milhar = R$ 10.000

Vreais=11,75×10000V_{reais} = 11{,}75 \times 10000

VreaisV_{reais} = R$ 117.500,00

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer a conversão e responder 11,75 reais, ou confundir com R$ 11.750,00.

Resposta: R$ 117.500,00 — alternativa D

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