Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2025

Geometria Analítica: distância entre pontos de interseção

Gabarito: letra D — a distância entre os pontos P e Q é $3\sqrt{2}$. Resolvendo o sistema, encontramos os pontos $(1,3)$ e $(4,6)$; a distância entre eles é $\sqrt{(4-1)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

O problema pede a distância entre os dois pontos de interseção de uma parábola e uma reta. A primeira equação, $y - x^2 = 2$, pode ser reescrita como $y = x^2 + 2$, que é uma parábola com concavidade para cima e vértice em $(0,2)$. A segunda equação, $x^2 - 2x + y = 6$, pode ser reescrita como $y = -x^2 + 2x + 6$, que é uma parábola com concavidade para baixo e vértice em $(1,7)$. Os pontos P e Q são exatamente os pontos onde essas duas curvas se cruzam.

Para encontrar esses pontos, igualamos as duas expressões de $y$: $x^2 + 2 = -x^2 + 2x + 6$. Isso nos dá $2x^2 - 2x - 4 = 0$, que simplificamos para $x^2 - x - 2 = 0$. Fatorando, obtemos $(x-2)(x+1) = 0$, logo $x = 2$ ou $x = -1$. Substituindo $x=2$ na primeira equação, $y = 2^2 + 2 = 6$; substituindo $x=-1$, $y = (-1)^2 + 2 = 3$. Portanto, os pontos são $P(2,6)$ e $Q(-1,3)$.

A distância entre dois pontos $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ no plano cartesiano é dada pela fórmula $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Aplicando essa fórmula aos pontos encontrados, temos $d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$. Como $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$, a distância é $3\sqrt{2}$.

A pegadinha desta questão está em dois pontos: primeiro, o candidato pode errar a álgebra ao resolver o sistema, especialmente ao manipular os sinais ao igualar as equações. Segundo, mesmo encontrando os pontos corretos, pode esquecer de aplicar a fórmula da distância corretamente, ou errar na simplificação de $\sqrt{18}$. A banca também pode tentar confundir com a distância entre os vértices das parábolas, que seria $\sqrt{(1-0)^2 + (7-2)^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}$, um valor que não aparece nas alternativas.

Guarde o passo a passo: isolar $y$, igualar as equações, resolver a equação do segundo grau, encontrar os pontos e aplicar a fórmula da distância. É exatamente esse fluxo que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\sqrt{5}$ seria a distância se os pontos fossem, por exemplo, $(1,2)$ e $(2,4)$, mas não é o caso. Esse valor não corresponde a nenhuma distância relevante do problema, como a distância entre os vértices ou entre um ponto e o outro.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$2\sqrt{2}$ é um valor que poderia surgir de um erro de cálculo, como se a diferença entre as coordenadas fosse $2$ e $2$, resultando em $\sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. No entanto, as diferenças corretas são $3$ e $3$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$2\sqrt{3}$ poderia ser o resultado se as diferenças fossem $2$ e $\sqrt{8}$, mas não é o caso. Esse valor não corresponde a nenhuma combinação das coordenadas dos pontos P e Q.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A distância correta é $3\sqrt{2}$. Os pontos de interseção são $P(2,6)$ e $Q(-1,3)$. A diferença entre as coordenadas x é $2 - (-1) = 3$ e entre as coordenadas y é $6 - 3 = 3$. Aplicando a fórmula da distância, $d = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$2\sqrt{5}$ seria a distância se as diferenças fossem $2$ e $4$, resultando em $\sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. Isso não corresponde aos pontos encontrados.

Gabarito: letra D