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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2025

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
vu219396
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Sorocaba
Ano
2025
Cargo
Prof ( )
As meninas do 9ºano de uma escola vão formar um time de futebol de salão para disputar um torneio entre escolas. O time será formado por uma goleira, uma pivô, uma fixa e duas alas. A treinadora do time pode contar, na série, com 6 goleiras, 8 pivôs, 12 fixas e 20 alas.   Com essas atletas disponíveis, o número de quintetos diferentes que a treinadora pode colocar em quadra é igual a
  1. A218.880.
  2. B109.440.
  3. C54.720.
  4. D46.080.
  5. E27.360.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 109.440.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 109.440 quintetos — alternativa B.

A ideia por trás

A análise combinatória conta de quantas maneiras podemos escolher ou organizar elementos. Quando as escolhas são independentes e cada posição é distinta, usamos o princípio multiplicativo: se uma escolha tem m opções e outra tem n, o total é m × n. Quando a ordem entre os escolhidos não importa, usamos a combinação, que divide pelo número de ordens possíveis para não contar o mesmo grupo várias vezes.

A combinação simples C(n, k) = n! / (k! (n-k)!) conta quantos grupos de k elementos podemos formar a partir de n, sem levar em conta a ordem. Por exemplo, C(20, 2) = 20! / (2! 18!) = 20 × 19 / 2 = 190, porque escolher as alas A e B é o mesmo que escolher B e A. Já o princípio multiplicativo é usado quando cada posição é única: goleira, pivô e fixa são papéis diferentes, então multiplicamos as opções de cada uma.

Esta questão mistura os dois: as três primeiras posições são distintas e independentes, então multiplicamos; as duas alas formam um grupo sem ordem, então usamos combinação. O erro clássico é tratar as alas como posições ordenadas, o que dobra o resultado.

O que a questão dá

  • goleiras disponíveis = 6

  • pivôs disponíveis = 8

  • fixas disponíveis = 12

  • alas disponíveis = 20

  • posições no time: 1 goleira, 1 pivô, 1 fixa, 2 alas

O que queremos: o número de quintetos diferentes que a treinadora pode formar

Passo 1 — Escolher goleira, pivô e fixa

Cada uma dessas posições é única no time: a goleira não é a pivô, a pivô não é a fixa. Como as escolhas são independentes, o princípio multiplicativo manda multiplicar as quantidades de opções de cada posição.

Por que esta fórmula: O princípio fundamental da contagem diz que, se uma decisão tem m opções e outra tem n, o total de combinações das duas é m × n. Aqui são três decisões independentes, então multiplicamos as três quantidades.

N1=6×8×12N_1 = 6 \times 8 \times 12

De onde vem cada valor: 66 = enunciado: 6 goleiras · 88 = enunciado: 8 pivôs · 1212 = enunciado: 12 fixas

N1=6×8×12=576N_1 = 6 \times 8 \times 12 = \boxed{576}
NÃO CAIA NESSA!

Somar as quantidades (6+8+12=26) em vez de multiplicar — isso conta apenas uma escolha, não a combinação das três posições.

Passo 2 — Escolher as duas alas

As duas alas formam um grupo sem ordem: a ala Maria e a ala Ana é o mesmo quinteto que Ana e Maria. Por isso não podemos simplesmente multiplicar 20 × 19, pois isso contaria cada par duas vezes.

Por que esta fórmula: A combinação C(20,2) conta quantos pares podemos formar com 20 alas, ignorando a ordem. A fórmula é C(n,k) = n! / (k!(n-k)!), que para k=2 simplifica para n(n-1)/2.

C20,2=20×192C_{20{,}2} = \frac{20 \times 19}{2}

De onde vem cada valor: 2020 = enunciado: 20 alas · 1919 = constante: 20 - 1, pois a segunda ala não pode ser a mesma que a primeira · 22 = constante: porque cada par é contado duas vezes (ordem A-B e B-A)

C20,2=20×192=190C_{20{,}2} = \frac{20 \times 19}{2} = \boxed{190}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 20 × 19 = 380, contando a ordem das alas — isso dobra o número de quintetos e leva à alternativa A.

Passo 3 — Multiplicar as escolhas independentes

A escolha da goleira, da pivô, da fixa e das duas alas são independentes entre si: qualquer combinação de uma goleira com uma pivô, uma fixa e um par de alas forma um quinteto válido. O princípio multiplicativo diz que o total é o produto de todas as possibilidades.

Por que esta fórmula: Como as escolhas são independentes, o número total de quintetos é o produto do número de opções de cada posição: N = N_1 × C_{20,2}.

N=N1×C20,2N = N_1 \times C_{20{,}2}

De onde vem cada valor: N1N_1 = passo 1: 576 · C20,2C_{20{,}2} = passo 2: 190

N=576×190=109.440N = 576 \times 190 = \boxed{109.440}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 190 e parar em 576, ou multiplicar por 380 (erro do passo 2).

Resposta: 109.440 quintetos — alternativa B

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